欧拉函数

给定整数n，那么n的唯一的分解式如下

欧拉函数的定义：

phi(n) 为1->n中与n互素的数的个数。与n互素，就与所有n的所有素数因子pi互素，与pi互素和不是pi的倍数是等价的

那么可以用容斥定理来求解phi(n)，从n个数中减去是1个素因子倍数的个数，然后加上同时是2个素因子倍数的个数，然后减去同时是3个素数因子的倍数的个数

n/pi 为有多少个数是pi的倍数

那么就得到一个公式

|s|代表的是集合中元素的个数

对于的任意子集s，不与其中任何一个元素互素的个数是

比如:

我们将上述的公式变形一下得到

我们等价呢，因为这个式子的展开式的每一项是1或者，那么展开之后，和原来推导过程的式子是一样的

那么可以得到代码

 1 int euler(int n)
 2 {
 3     int m = sqrt(n) + 0.5;
 4     int ans = n;
 5     for (int i = 2; i <= m; ++i)
 6     if (n%i == 0)
 7     {
 8         ans = ans / i * (i - 1);
 9         while (n%i == 0) n /= i;
10     }
11     if (n > 1) ans = ans / n *(n - 1);
12     return ans;
13 }

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如果要求出1->n所有数字的欧拉函数值，那么可以用类似筛法的方法得到

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <iostream>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <vector>
 9 #include <map>
10 #include <set>
11 #include <string>
12 #include <math.h>
13 using namespace std;
14 #pragma warning(disable:4996)
15 typedef long long LL;                   
16 const int INF = 1<<30;
17 /*
18 
19 */
20 const int N = 1000000 + 10;
21 int phi[N];
22 void phiTable(int n, int *phi)
23 {
24     int i, j;
25     for (i = 2; i <= n; ++i) phi[i] = 0;
26     phi[0] = 0;
27     phi[1] = 1;
28     for (i = 2; i <= n; ++i)
29     {
30         if (!phi[i])//素数肯定没有被筛过
31         for (j = i; j <= n; j += i)
32         {
33             if (!phi[j]) phi[j] = j;
34             phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);//因为i是素数，即i是j的素数因子
35         }
36     }
37 }
38 
39 
40 int main()
41 {
42     
43     phiTable(100, phi);
44     int i;
45     for (i = 2; i <= 100; ++i)
46         printf("%d ", phi[i]);
47     return 0;
48 }

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