随机行走

什么是随机行走？

随机行走是一个对象从起始点出发游走，每一步都随机选个方向前进。下图为7个黑点的随机行走。

7个随机行走的黑点

如何对随机行走进行数学描述？

最简单的随机行走是一维随机行走。考虑数轴上中心处的黑点。

数轴中心出黑点

然后，这个黑点开始迈出一步，向前或向后，做任一选择的概率都是相等的。以后时刻迈出下一步也是一样的，以相等的概率决定向前还是向后。第1步记作(a_1)，第2步记作(a_2)，第3步记作(a_3)，以此类推。每个“(a)”只有两个取值，+1（表示向前走1步）或-1（表示向后退1步），如下图所示，黑点走了5步后停在数轴上-1处。

黑点在数轴上做了5步随机行走

假设黑点从0处开始出发，沿着数轴随机行走。首先我们想知道，黑点走了(N)步后，距离出发点有多远。显然，每次实验得到的结果是不一样的。但是我们可以算一下，多次重复实验，黑点最后到出发点距离的平均值。黑点最后到出发点0的距离记作(d)。这里(d)可正可负，(dgt 0)，表示黑点最后位于0点右边，反之，(dlt 0)，表示黑点最后位于0点左边。对于任意一次实验，结果为

egin{equation*} d=a_1+a_2+ldots +a_N end{equation*}

多次重复实验，得到的(d)的平均值为

egin{equation*} langle d angle =langle a_1+a_2+ldots +a_N angle =langle a_1 angle +langle a_2 angle +ldots +langle a_N angle end{equation*}

但是(langle a_1 angle = 0)，因为(a_1)取+1和-1的概率相等。同样地，(langle a_2 angle = 0)，(langle a_3 angle = 0)，(dots)，(langle a_N angle = 0)，所以

egin{equation*} langle d angle =langle a_1 angle +langle a_2 angle +ldots +langle a_N angle = 0+0+ldots+0 end{equation*}

仔细想想，这个结果不奇怪，(langle d angle)表示黑点走了(N)步之后的平均位置，而黑点前进和后退的概率是一样的，平均值确实应该是0。

整点有用的

上面的计算毛用没有。现在我们整点有用的。

(d)有正有负，但是(d^2)只能是正的。因此(langle d^2 angle)就不可能是0。那我们就算算(langle d^2 angle)，看能得到什么结果。

egin{equation*} egin{split} langle d^2 angle &=langle (a_1+a_2+ldots +a_N)^2 angle \ &=langle (a_1+a_2+ldots +a_N)(a_1+a_2+ldots +a_N) angle \ &= langle a_1^2 angle +langle a_2^2 angle +ldots +langle a_N^2 angle \ &+ 2(langle a_1a_2 angle+langle a_1a_3 angle+ldots +langle a_1a_N angle+langle a_2a_3 angle+ldots +langle a_2a_N angle +ldots) end{split} end{equation*}

(langle a_1^2 angle)等于多少？因为(a_1)要么是1要么是-1，因此(a_1^2)只有一个取值，1，所以，(langle a_1^2 angle=1)，同样地，有(langle a_2^2 angle=1)，(langle a_3^2 angle=1)，(ldots)，(langle a_N^2 angle=1)

现在看(langle a_1a_2 angle)的值。(a_1)和(a_2)有四种组合，每种组合出现的概率都相等。四种组合如下：

(a_1)	(a_2)	$ a_1a_2$
1	1	1
1	-1	-1
-1	1	-1
-1	-1	1

因此(a_1a_2)的可能取值为1或-1，两种情况出现的概率相等，因此(langle a_1a_2 angle=0)。同样地，(langle a_1a_3 angle=0)，(langle a_1a_N angle=0)，(langle a_2a_3 angle=0)，(langle a_2a_N angle=0)，等等其他类似的项也都为0，于是，

egin{equation*} langle d^2 angle = (1+1+ldots+1)+2(0,0,ldots,0)=N end{equation*}

现在我们有些有意义的结果了，距离的平方的平均值为(N)。对上式开方，有

egin{equation*} sqrt{langle d^2 angle} =sqrt{N} end{equation*}

(sqrt{langle d^2 angle})大概其是上图中黑点走了(N)步后到0点的距离（科学术语叫做“方均根”距离），我们期望黑点走了(N)步后，到出发点距离为$sqrt{N} $。如果黑点走了25步，黑点净移动步数期望值为5步，不管是什么方向。当然有时候会多于5步，有时候会少于5步，5步是我们所期望的结果。