皮尔逊相关系数和余弦相似性的关系

先上结论：在数据标准化（ $mu=0,sigma=1$ ）后，Pearson相关性系数、Cosine相似度、欧式距离的平方可认为是等价的。详细推导在这里。

有两种理解方式

（1）皮尔逊相关系数是数据中心化后的余弦相似性；

（2）皮尔逊相关系数可以看做是协方差（定性相关关系）的一种改进，其消除了方差的影响（定量相关关系）。

1. 皮尔逊相关系数是数据中心化后的余弦相似性

作者：陈小龙
链接：https://www.zhihu.com/question/19734616/answer/174098489

两个向量之间的夹角余弦等于二者之间的内积除以二者模的乘积。

cos<a, b> = a • b / |a|•|b|

皮尔逊相关系数通过下式计算：

可以看到，二者计算方式类似，皮尔逊相关系数计算时先减去自身的均值（中心化）。

2. 皮尔逊相关系数可以看做是协方差的一种改进

作者：TimXP
链接：https://www.zhihu.com/question/19734616/answer/117730676

要理解Pearson相关系数，首先要理解协方差（Covariance），协方差是一个反映两个随机变量相关程度的指标，如果一个变量跟随着另一个变量同时变大或者变小，那么这两个变量的协方差就是正值，反之相反，公式如下：

Pearson相关系数公式如下：

由公式可知，Pearson相关系数是用协方差除以两个变量的标准差得到的，虽然协方差能反映两个随机变量的相关程度（协方差大于0的时候表示两者正相关，小于0的时候表示两者负相关），但是协方差值的大小并不能很好地度量两个随机变量的关联程度，例如，现在二维空间中分布着一些数据，我们想知道数据点坐标X轴和Y轴的相关程度，如果X与Y的相关程度较小但是数据分布的比较离散，这样会导致求出的协方差值较大，用这个值来度量相关程度是不合理的，如下图：

为了更好的度量两个随机变量的相关程度，引入了Pearson相关系数，其在协方差的基础上除以了两个随机变量的标准差，容易得出，pearson是一个介于-1和1之间的值，当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1；当一个变量增大，另一个变量也增大时，表明它们之间是正相关的，相关系数大于0；如果一个变量增大，另一个变量却减小，表明它们之间是负相关的，相关系数小于0；如果相关系数等于0，表明它们之间不存在线性相关关系。《数据挖掘导论》给出了一个很好的图来说明：

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