Eigen 3.3.7，Matrix 模板类

原文地址：http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialMatrixClass.html

在 Eigen 中，所有的矩阵和向量都是 Matrix 模板类。向量是特殊的矩阵，有着一行或者一列数据。

Matrix 的前三个模板参数

Matrix 有六个模板参数，这里我们只介绍前三个。后三个模板参数有默认值，我们将在其他小结中做介绍。

前三个模板参数如下所示：
Matrix<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime>

Scalar 是矩阵中元素的类型。如果你想构建一个由浮点数组成的矩阵，将当前参数设置为float即可
RowsAtCompileTime 和 ColsAtCompileTime用来在编译时确定矩阵的尺寸

Eigen 提供了一些常用的矩阵类型，比如 Matrix4f，在Eigen中其定义如下：
typedef Matrix<float, 4, 4> Matrix4f;

向量

Eigen 中向量是特殊的矩阵，有一列或者一行数据。有一列数据的向量被称之为列向量（Eigen中的向量默认为列向量），有一行数据的向量被称为行向量。

举个例子，内置的列向量 Vector3f 类型在 Eigen中的定义如下：
typedef Matrix<float, 3, 1> Vector3f;
Eigen 同时提供了内置的行向量：
typedef Matrix<int, 1, 2> RowVector2i;

动态矩阵

Eigen 提供了编译时尺寸不明确的矩阵类。RowsAtCompileTime 和 ColsAtCompileTime可以被设置为Dynamic以标识矩阵的尺寸在编译时是不明确的，只能在运行时确定。在 Eigen 中编译时可确定尺寸的矩阵被称为固定尺寸矩阵（后文称之为定维矩阵），在运行时才能确定大小的矩阵被称为动态尺寸矩阵（后文称之为动态矩阵）。Eigen 内置的 MatrixXd，一个元素类型为 double 的动态矩阵的定义如下：
typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;
类似的，Eigen 定义了 VectorXi：
typedef Matrix<int, Dynamic, 1> VectorXi;
你可以定义一个维度未知而另一个维度已知的矩阵，如下：
Matrix<float, 3, Dynamic>

构造函数

默认构造函数总是可用的，默认构造函数不会分配内存亦不会初始化矩阵元素：

Matrix3f a; // 3*3 matrix, uninitialized
MatrixXf b; // 0-by-0 currently

Eigen 提供接受指定矩阵尺寸参数的构造函数。对于矩阵，行数总是第一个参数。对于向量，只需要提供向量参数的个数即可。这些构造函数分配了矩阵或者向量所需要的内存空间但没有初始化这些内存。

MatrixXf a(10,15);
VectorXf b(30);

为了给定维矩阵和动态矩阵提供统一的API，对定维矩阵使用上面的构造函数也是合法的，例如：Matrix3f a(3,3)，虽然这样没有什么意义，但对于Eigen而言这不算错误。

Eigen 提供了向量元素初始化的构造函数，不过这类内置构造函数只支持向量尺寸小于等于4的情形：

Vector2d a(5.0, 6.0);
Vector3d b(5.0, 6.0, 7.0);
Vector4d c(5.0, 6.0, 7.0, 8.0);

矩阵元素引用

Eigen 中主要的矩阵元素引用方式是使用重载后的小括号。对于矩阵，行索引总是第一个参数。对于向量而言，只需要一个索引值就可以了。所有索引值都从0开始。

只有一个索引值的元素引用语法 m(index)并不仅限于向量，也适用于一般的矩阵，意味着读取一行（列）元素。然而这个特性十分依赖Eigen的存储顺序。所有的 Eigen 矩阵默认按列存储在内存中，不过你可以手动修改存储顺序，可参考Storage orders。

运算符 [] 也被重载用于引用向量的元素，但是因为C++语言的特性，[]不能用于矩阵元素的引用，因为在C++中[i,j]和[j]的计算值是相同的，都是[j]。

逗号初始化

矩阵和向量都可以使用逗号初始化语法：

Matrix3f m;
m << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;
std::cout << m;

其他初始化方式。

维度调整

Matrix 的尺寸信息可以通过 rows()、cols() 和 size() 获取，分别返回矩阵的行数、列数和所有元素的个数。矩阵尺寸调整可以通过方法 resize()。

如果矩阵的实际尺寸没有发生变化，那么resize() 方法将不进行任何实际操作。如果使用resize()调整了矩阵的尺寸，那么矩阵元素的值可能发生变化。如果你需要一个保守的不改变矩阵元素值的resize方法，可以参考conservativeResize()。

为了实现API的统一，所有调整矩阵尺寸的方法都适用于固定尺寸的矩阵，不过大部分时候这些函数都会报错或者不做任何实际操作。对于固定尺寸的矩阵 Matrix4d m，做这样的调整m.resize(4,4)是不会报错的，因为m并没有改变尺寸。

赋值时调整尺寸

Eigen 使用等号运算符执行拷贝赋值，Eigen 将自动调整等号左侧矩阵的尺寸与右侧矩阵相同，从而实现合法的赋值操作。不过如果左侧的矩阵是固定尺寸的且等号两侧矩阵尺寸不同，赋值将会失败。如果你不想Eigen自动调整矩阵尺寸，可以禁止这个特性。

定维 vs 动态

什么时候使用定维矩阵？什么时候使用动态矩阵？比较好的答案是：当矩阵尺寸比较小的时候使用定维矩阵，当矩阵尺寸比较大或者你不能使用定维矩阵时使用动态矩阵。对于定维矩阵而言，当尺寸较小时其执行效率要高于动态矩阵。定维矩阵，Eigen 将不会为其分配动态内存。在 Eigen 中定维矩阵在内存中的实现方式是普通的数组，Matrix4f m 的实现方式和float m[16]是非常类似的，而 MatrixXf mx 的实现方式和 float mx*=new float[rows*cols] 是类似的。

当矩阵元素个数大于32或者更多时，固定尺寸的性能优势将不再明显。创建一个非常大的固定尺寸矩阵很可能造成栈溢出，因为Eigen在栈中创建定维矩阵。根据不同的编译与运行环境，Eigen可能使用更激进的向量化手段（例如使用SIMD指令），这些特性可以参考 Vectorization。

含默认值的模板参数

文章的开始提到Matrix一共有6个模板参数，到现在为止我们只讨论了其中3个，其余三个有默认参数。下面是Matrix的完整声明：

Matrix<typename Scalar,
       int RowsAtCompileTime,
       int ColsAtCompileTime,
       int Options = 0,
       int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
       int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>

Options ，不同比特位设置不同属性。这里我们只讨论一个比特位：RowMajor。设置这个位，当前矩阵将按照行顺序来保存矩阵，Eigen默认是按列顺序进行保存。
MaxRowsAtCompileTime 和 MaxColsAtCompileTime，用于设置矩阵编译时最大尺寸。设置这两个参数最主要的原因是为了避免 Eigen 动态分配内存。

内置类型

Eigen 预定义了以下 Matrix 类型：

MatrixNt ，等价于 Matrix<type, N, N>，示例：MatrixXi=Matrix<int, Dynamic, Dynamic>
VectorNt，等价于 Matrix<type, N, 1>，示例：Vector2f=Marix<float, 2, 1>
RowVectorNt，等价 Matrix<type, 1, N>，示例：RowVector3d=Matrix<double, 1, 3>

说明：

N 的取值可以是 2、3、4、或者 X（X表示动态）
t 可以是i（int），f（float），d（double），cf（complex），或者cd（complex）。内置类型除了这几种还可以是用户自定义类型