MAT之prim算法

prim算法

边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。

最小生成树（MST）：权值最小的生成树。

生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。

构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：

1、尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；

2、选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；

MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。

1.prim算法

基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：

在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。

此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。

Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。

注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。

看了上面一大段文字是不是感觉有点晕啊，为了更好理解我在这里举一个例子，示例如下：

（1）图中有6个顶点v1-v6，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我先随意选择一个顶点作为起始点，当然我们一般选择v1作为起始点，好，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边，现在状态如下：

U={v1}； TE={}；

（2）现在查找一个顶点在U集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1，那么将v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，状态如下：

U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；

（3）继续寻找，现在状态为U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在与红线相交的边上查找最小值。

我们可以找到最小的权值为（v3，v6）=4，那么我们将v6加入到U集合，并将最小边加入到TE集合，那么加入后状态如下：

U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}；如此循环一下直到找到所有顶点为止。

（4）下图像我们展示了全部的查找过程：

2.prim算法程序设计

（1）由于最小生成树包含每个顶点，那么顶点的选中与否就可以直接用一个数组来标记used[max_vertexes];（我们这里直接使用程序代码中的变量定义，这样也易于理解）；当选中一个数组的时候那么就标记，现在就有一个问题，怎么来选择最小权值边，注意这里最小权值边是有限制的，边的一个顶点一定在已选顶点中，另一个顶点当然就是在未选顶点集合中了。我最初的一个想法就是穷搜了，就是在一个集合中选择一个顶点，来查找到另一个集合中的最小值，这样虽然很易于理解，但是很明显效率不是很高，在严蔚敏的《数据结构》上提供了一种比较好的方法来解决：设置两个辅助数组lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes]，lowcost[max_vertexes]数组记录从U到V－U具有最小代价的边。对于每个顶点v∈V－U,closedge[v], closeset[max_vertexes]记录了该边依附的在U中的顶点。

注意：我们在考虑两个顶点无关联的时候设为一个infinity 1000000最大值。

说了这么多，感觉有点罗嗦，还是发扬原来的风格举一个例子来说明，示例如下：

过程如下表：顶点标号都比图中的小1，比如v1为0，v2为1，这里首先选择v1点。

	Lowcost[0]	Lowcost[1]	Lowcost[2]	Lowcost[3]	Lowcost[4]	Lowcost[5]	U	V-U
closeset	v1，infinity	v1，6	v1，1	v1，5	v1，infinity	v1，infinity	v1	v1,v2,v3,v4,v5,v6

从这个表格可以看到依附到v1顶点的v3的Lowcost最小为1，那么选择v3，选择了之后我们必须要更新Lowcost数组的值，因为记录从U到V－U具有最小代价的边，加入之后就会改变。这里更新Lowcost和更新closeset数组可能有点难理解，

for (k=1;k<vcount;k++)
            if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))
                { lowcost[k]=G[j][k];
                closeset[k]=j; }
        }
j为我们已经选出来的顶点，如果G[j][k]<lowcost[k]，则意味着最小权值边发生变化，更新该顶点的最小lowcost权值，依附的顶点肯定就是刚刚选出的顶点j，closeset[k]=j。

	Lowcost[0]	Lowcost[1]	Lowcost[2]	Lowcost[3]	Lowcost[4]	Lowcost[5]	U	V-U
closeset	v1，infinity	v1，6	v1，1	v1，5	v3，6	v3，4	v1，v3	v1,v2,v4,v5,v6

这样一直选择下去直到选出所有的顶点。

（2）上面把查找最小权值的边结束了，但是这里有一个问题，就是我们没有存储找到的边，如果要求你输出找到的边那么这个程序就需要改进了，我们刚开始的时候选取的是v1作为第一个选择的顶点，那我们设置一个father[]数组来记录每个节点的父节点，当然v1的父节点肯定没有，那么我们设置一个结束标志为-1，每次找到一个新的节点就将它的父节点设置为他依附的节点，这样就可以准确的记录边得存储了。

语法：prim(Graph G,int vcount,int father[]);
参数：
G：	图，用邻接矩阵表示
vcount：	表示图的顶点个数
father[]：	用来记录每个节点的父节点
返回值：	null
注意：
	常数max_vertexes为图最大节点数
	常数infinity为无穷大
	数组存储从0开始
	如果下面的源程序有错请参照测试程序。
源程序：
	#define infinity 1000000 #define max_vertexes 5 typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes]; void prim(Graph G,int vcount,int father[]) { int i,j,k; int lowcost[max_vertexes]; int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes]; int min; for (i=0;i<vcount;i++) { /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 / lowcost[i]=G[0][i]; / 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 / closeset[i]=0; used[i]=0; father[i]=-1; } used[0]=1; /第一个节点是在U集合里的/ / vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 / for (i=1;i<=vcount-1;i++) { j=0; min = infinity; / 找满足条件的最小权值边的节点k / for (k=1;k<vcount;k++) / 边权值较小且不在生成树中 / if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min)) { min = lowcost[k]; j=k; } father[j]=closeset[j]; used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中 for (k=1;k<vcount;k++) / 发现更小的权值 / if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k])) { lowcost[k]=G[j][k];/更新最小权值/ closeset[k]=j;;/记录新的依附点*/ } } }

测试程序：

  1 #include <stdio.h>
  2 
  3 #include <string.h>
  4 
  5 #include <stdlib.h>
  6 
  7  
  8 
  9 #define infinity 1000000
 10 
 11 #define max_vertexes 6 
 12 
 13 typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];
 14 
 15 void prim(Graph G,int vcount,int father[])
 16 
 17 {    
 18 
 19 int i,j,k; 
 20 
 21     int lowcost[max_vertexes];
 22 
 23 int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];
 24 
 25 int min;  
 26 
 27 for (i=0;i<vcount;i++)     
 28 
 29   {
 30 
 31 /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */   
 32 
 33     lowcost[i]=G[0][i];
 34 
 35     /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */
 36 
 37      closeset[i]=0;      
 38 
 39   used[i]=0;    
 40 
 41     father[i]=-1;      
 42 
 43 }    
 44 
 45 used[0]=1; /*第一个节点是在s集合里的*/
 46 
 47 /* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */  
 48 
 49   for (i=1;i<=vcount-1;i++)      
 50 
 51    {       
 52 
 53  j=0;
 54 
 55      min = infinity;
 56 
 57        /* 找满足条件的最小权值边的节点k */      
 58 
 59      for (k=1;k<vcount;k++)
 60 
 61          /* 边权值较小且不在生成树中 */     
 62 
 63  if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min)) 
 64 
 65     {
 66 
 67               min =  lowcost[k];
 68 
 69               j=k;
 70 
 71             }       
 72 
 73     father[j]=closeset[j];   
 74 
 75 printf("%d %d
",j+1,closeset[j]+1);//打印边   
 76 
 77 used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中     
 78 
 79 for (k=1;k<vcount;k++)
 80 
 81          /* 发现更小的权值 */       
 82 
 83    if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))       
 84 
 85 { 
 86 
 87                   lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/       
 88 
 89       closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/
 90 
 91     }      
 92 
 93    }
 94 
 95 }
 96 
 97                  
 98 
 99 int main()
100 
101 {
102 
103 FILE *fr;
104 
105 int i,j,weight;
106 
107 Graph G;
108 
109 int fatheer[max_vertexes];
110 
111 for(i=0; i<max_vertexes; i++)
112 
113 for(j=0; j<max_vertexes; j++)
114 
115 G[i][j] = infinity;
116 
117 fr = fopen("prim.txt","r");
118 
119 if(!fr)
120 
121 {
122 
123 printf("fopen failed
");
124 
125 exit(1); 
126 
127 }
128 
129 while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF)
130 
131 {
132 
133 G[i-1][j-1] = weight;
134 
135 G[j-1][i-1] = weight;
136 
137 }
138 
139  
140 
141 prim(G,max_vertexes,fatheer);
142 
143 return 0;
144 
145  
146 
147 }
148 
149  
150 
151 程序结果：
152 
153 3 1
154 
155 6 3
156 
157 4 6
158 
159 2 3
160 
161 5 2

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