【算法学习】线性时间排序计数排序、基数排序和桶排序详解与编程实现

计数排序

计数排序假设n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数。此处k为某个整数（输入数据在一个小范围内）。

算法思想

计数排序的基本思想是对每一个输入元素x，确定出小于x的元素的个数。然后再将x直接放置在它在最终输出数组中的位置上。

由于数组中可能有相等的数，在处理时需要注意。

时间复杂度和空间复杂度分析

算法总时间Θ(k + n)。当k=O(n)时，计数排序的运行时间是Θ(n)。

空间复杂度是O(n+k)。需要两个辅助数组：存放排序结果的数组B[n]，存放临时结果的C[k]。

计数排序是稳定的排序算法。

编程实现（CPP）

//计数排序-《算法导论（第二版）》P98 8.2计数排序
//Author：江南烟雨
//E-Mail：xiajunhust@gmail.com

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

void CountSort(int *a,const int num,int *result)
{
	int MaxVal = -99999;
	for(int i = 0;i < num;++i)
	{
		if(MaxVal < *(a + i))
			MaxVal = *(a + i);
	}
	int *tempResult = new int[MaxVal + 5];//记录中间结果
	for(int i = 0;i < MaxVal  + 5;++i)
		*(tempResult + i) = 0;
	//result[i]记录数组中值等于i的元素的个数
	for(int i = 0;i < num;++i)
		*(tempResult + *(a + i)) = *(tempResult + *(a + i)) + 1;
	//result[i]记录数组中值小于等于i的元素的个数
	for(int i = 1;i < MaxVal + 5;++i)
		*(tempResult + i) = *(tempResult + i) + *(tempResult + i - 1);
	//注意，数组中可能存在相等的元素
	//将数组中各元素直接放入正确的位置
	for (int i = num - 1;i >= 0;--i)
	{
		*(result + *(tempResult + *(a + i))) = *(a + i);
		*(tempResult + *(a + i)) = *(tempResult + *(a + i)) - 1;
	}

	delete[] tempResult;
}

int main()
{
	 int num = 7;
	int *a = new int[num];
	for(int i = 0;i < num;++i)
		*(a + i) = rand();

	cout << "Before sort: " << endl;
	for(int i = 0;i < num;++i)
		cout << *(a + i) << " ";
	cout << endl;

	int *result = new int[num + 5];

	CountSort(a,num,result);

	cout << "After sort: " << endl;
	for(int i = 1;i <= num;++i)
		cout << *(result + i) << " ";
	cout << endl;

	delete[] a;
	delete[] result;
}

基数排序

算法思想

基数排序是从低位到高位依次对所有的数进行排序。如果所有的数最高位数是d，那么先按最低有效位数字进行排序，得到一个结果。然后往高位重复这个过程。

需要注意的是，按位排序必须是稳定的排序算法。经常采用的是计数排序。

编程实现（CPP）

//基数排序
//《算法导论（第二版）》P100 8.3 基数排序
//Author：江南烟雨
//E-Mail:xiajunhust@gmail.com

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

//得到某个整数第i位的数值
int getDigitNun(int a,int digit);
//按位排序
void DigitSort(int *a,int n,int digit,int *result);
//基数排序算法
void RadixSort(int *a,int n,int d);

int main()
{
	int n = 7,i;
	int *a = new int[n];
	srand(time(NULL));
	for(i = 0;i < n;++i)
		*(a + i) = rand();
	//判断最大的数的位数
	int MaxVal = -1,d = 0;
	cout << "Before sort : " << endl;
	for(i = 0;i < n;++i)
	{
		cout << *(a + i) << " ";
		MaxVal = MaxVal < *(a + i) ? *(a + i) : MaxVal;
	}
	cout << endl;
	while(MaxVal > 0)
	{
		++d;
		MaxVal /= 10;
	}

	RadixSort(a,n,d);

	cout << "After sort : " << endl;
	for(i = 0;i < n;++i)
		cout << *(a + i) << " ";
	cout << endl;
}

//基数排序算法
void RadixSort(int *a,int n,int d)
{
	int *result = new int[n + 5];
	//循环执行按位排序操作
	for (int i =1;i <= d;++i)
	{
		DigitSort(a,n,i,result);
		for (int j = 0;j < n;++j)
		{
			*(a + j) = *(result + j + 1);
		}
	}

	delete[] result;
}

//得到某个整数第i位的数值
int getDigitNun(int a,int digit)
{
	while(--digit)
	{
		a /= 10;
	}

	return a % 10;
}

//按位排序
//这里采用选择排序
void DigitSort(int *a,int n,int digit,int *result)
{
	//记录中间结果
	const int num = 15;
	int *tempResult = new int[num];
	for(int i = 0;i < num;++i)
		*(tempResult + i) = 0;//初始化

	//tempResult[i]记录数组中等于i的数的个数
	for(int i = 0;i < n;++i)
		*(tempResult + getDigitNun(*(a + i),digit)) = *(tempResult + getDigitNun(*(a + i),digit)) + 1;

	//tempResult[i]记录数组中小于等于i的数的个数
	for(int i = 1;i < num;++i)
		*(tempResult + i) = *(tempResult + i) + *(tempResult + i - 1);

	//将个元素直接放入正确的位置
	for(int i = n - 1;i >= 0;--i)
	{
		*(result + *(tempResult + getDigitNun(*(a + i),digit))) = *(a + i);
		*(tempResult + getDigitNun(*(a + i),digit)) = *(tempResult + getDigitNun(*(a + i),digit)) - 1;
	}

	delete[] tempResult;
}

时间复杂度和空间复杂度分析

给定n个d位数，每一个数位可能取值中数是k，如果所用的稳定的按位排序时间复杂度是Θ(n+k)，基数排序时间复杂度是Θ(d(n+k))。空间复杂度O(n+k)。

当d为常数，k=O(n)时，基数排序有线性时间复杂度。

关于如何将每个关键字分解成若干数位方面，有另外一个定理：

给定n个b维数和任何正整数r<=b，基数排序能在Θ((b/r)(n+2^r))时间内对这些数进行排序。

这里，对一个值r<=b，将每个关键字看做是有d = floor(b/r)个数字，每个数字含有r位，再进行计数排序。

上述式子可以推导得到Θ(n)复杂度。

但是这并不意味着基数排序比基于比较的排序算法比如快排更好！因为隐含在记号中的常数因子是不同的。哪一个排序算法更好取决于底层机器的实现特性，比如快排同==排通常可以更有效地利用硬件缓存。同时还取决于输入数据。而且利用计数排序作为中间稳定排序不是原地排序。

桶排序

当输入数据符合均匀分布时，即可以以线性期望时间运行。即使输入不满足线性关系，桶排序也仍然可以以线性时间运行。只要输入满足这样一个性质，即各个桶尺寸的平方和与总的元素数呈线性关系。

桶排序的思想：

将区间[0,1)分成n个相同大小的子区间，或称为桶。然后将n个输入元素分布到各个桶中去。每个桶中的元素用一个链表来存储。

编程实现（CPP）

//桶排序
//《算法导论（第二版）》P102 8.4 桶排序
//Author：江南烟雨（2013-03027）
//E-Mail:xiajunhust@gmail.com

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>

using namespace std;

//桶中链表节点数据结构
typedef struct StructLinkNode{
	double elem;
	struct StructLinkNode *next;
}LinkNode,*LinkNodePtr;

//桶排序
void BucketSort(double *a,int n);
//删除一条链表
void deleteLinkList(LinkNodePtr head);

int main()
{
	srand(time(NULL));
	int n = 8;
	double *a = new double[n];
	for(int i = 0;i < n;++i)
		*(a + i) = rand() * 1.0 / RAND_MAX;

	cout << "Before sort : " << endl;
	for(int i = 0;i < n;++i)
		cout << *(a + i) << "  ";
	cout << endl;

	BucketSort(a,n);

	cout << "After sort : " << endl;
	for(int i = 0;i < n;++i)
		cout << *(a + i) << "  ";
	cout << endl;
}

//桶排序
void BucketSort(double *a,int n)
{
	//存放链表的数组
	LinkNodePtr *linkListArr = new LinkNodePtr[n];
	//初始化
	for (int i = 0;i < n;++i)
	{
		linkListArr[i] = new LinkNode;
		linkListArr[i]->elem = -1;
		linkListArr[i]->next = NULL;
	}

	//将n个输入元素依次放入n个桶中
	for (int i = 0;i < n;++i)
	{
		LinkNodePtr newNode = new LinkNode;
		newNode->elem = *(a + i);
		newNode->next = NULL;

		//将新元素插入对应桶的链表的正确位置
		int index = floor(n * *(a + i));
		LinkNodePtr loopPtr = linkListArr[index]->next;
		LinkNodePtr prevPtr = linkListArr[index];
		while(loopPtr != NULL && *(a + i) > loopPtr->elem)
		{
			prevPtr = loopPtr;
			loopPtr = loopPtr->next;
		}
		newNode->next = loopPtr;
		prevPtr->next = newNode;
	}

	int count = 0;
	for (int i = 0;i < n;++i)
	{
		LinkNodePtr loopPtr = linkListArr[i]->next;
		while(loopPtr != NULL)
		{
			*(a + count) = loopPtr->elem;
			++count;
			loopPtr = loopPtr->next;
		}
	}

	for (int i = 0;i < n;++i)
		deleteLinkList(linkListArr[i]);
}

//删除一条链表
void deleteLinkList(LinkNodePtr head)
{
	if (NULL == head)
	{
		return;
	}
	deleteLinkList(head->next);
	delete head;
}

时间和空间复杂度分析

时间复杂度是O(n)。

空间复杂度是O(n)。需要一个辅助数组来存放桶（链表）。

即使输入不满足均匀分布，桶排序也仍然可以以线性时间运行，只要输入满足这样一个条件：各个桶尺寸的平方和与总的元素呈线性关系。

桶排序是稳定排序算法。