用HTML5献上爱的3D玫瑰

译自：http://www.romancortes.com/blog/1k-rose/

转载请标明作者和出处：http://blog.csdn.net/hfahe

我曾参与js1k爱情主题的第四次活动（译者注：关于有趣的js1k，可以看看我上一篇博文《JS1k比赛与3D玫瑰》）。我所提交的是一个静态图像，由程序生成的三维玫瑰。你可以在这里看到它。

它是通过显式分段三维曲面的蒙特卡洛采样所实现的。我要在这篇文章中尝试解释所有内容。

关于蒙特卡罗方法的简短说明

蒙特卡罗方法是令人难以置信的强大工具。我一直在使用它们来实现很多功能优化和采样的问题。相比起设计和编写算法，如果你有更多CPU时间的话，它们几乎可以像变魔术一样。在这个关于玫瑰的案例里，它对于代码大小的优化非常有用。

如果你对于蒙特卡罗方法了解不多，你可以读读Wikipedia上一篇不错的相关文章。

显式的曲面和采样/绘图

我使用多个显式定义的曲面来定义玫瑰的形状。我总共使用了31个面：24片花瓣，4片萼片（花瓣周围的薄叶），2片叶子以及玫瑰枝。

那么它们是如何表示这些显式曲面的呢？这非常容易，我将会提供一个二维的例子：

首先，我定义了显式曲面的函数：

function surface(a, b) {  // 我使用0到1之间的a和b作为参数
    return {
        x: a*50,
        y: b*50
    };
    // 曲面将会是50*50大小的一个正方形
}

然后下面是绘制它的代码：

var canvas = document.body.appendChild(document.createElement("canvas")),
    context = canvas.getContext("2d"),
    a, b, position;

// 现在我将要为a和b参数采用0.1间隔来进行曲面采样

for (a = 0; a < 1; a += .1) {
    for (b = 0; b < 1; b += .1) {
        position = surface(a, b);
        context.fillRect(position.x, position.y, 1, 1);
    }
}

下面是结果：

放大了4倍

现在，让我们尝试更密集的采样间隔（更小的间隔=更密集的采样）：

正如你看到的一样，因为你的样例越来越密集，点越来越接近，当相邻两点的距离小于一个像素时，屏幕上区域已经被完全的充满了（见0.01的图）。之后使它更密集并不会造成太大的视觉差别，因为你只是在已经填满的区域上继续绘制（比较0.01和0.001的结果）。

OK，现在让我们重新定义曲面函数来画一个圆。有多种方法可以做到这一点，但我会用这个公式：(x-x0)^2 + (y-y0)^2 <radius^2，其中(x0, y0) 是圆心：

function surface(a, b) {
    var x = a * 100,
        y = b * 100,
        radius = 50,
        x0 = 50,
        y0 = 50;

    if ((x - x0) * (x - x0) + (y - y0) * (y - y0) < radius * radius) {
        // 圆内
        return {
            x: x,
            y: y
        };
    } else {
        // 圆外
        return null;
    }
}

因为不允许圆外有点，我应该添加在抽样时添加条件：

if (position = surface(a, b)) {
    context.fillRect(position.x, position.y, 1, 1);
}

效果如下：

正如我前面所说的一样，有许多不同的方法来定义一个圆，其中一些并不需要拒绝抽样。我将要展示一种方式，但只是作为一个提示，我不会在后面的文章中继续采用：

function surface(a, b) {
    var angle = a * Math.PI * 2,
        radius = 50,
        x0 = 50,
        y0 = 50;

    return {
        x: Math.cos(angle) * radius * b + x0,
        y: Math.sin(angle) * radius * b + y0
    };
}

（此方法比起之前的需要一个更密集的取样来填充这个圆）

好了，现在让圆变形让它看起来更像是一个花瓣：

function surface(a, b) {
    var x = a * 100,
        y = b * 100,
        radius = 50,
        x0 = 50,
        y0 = 50;

    if ((x - x0) * (x - x0) + (y - y0) * (y - y0) < radius * radius) {
        return {
            x: x,
            y: y * (1 + b) / 2 // 变形
        };
    } else {
        return null;
    }
}

效果如下：

好了，现在这看起来很像一个玫瑰花瓣的形状。我建议你应用一点变形。您可以使用任何可以想得到的数学函数，例如加，减，乘，除，SIN，COS，开方......等等。只需要试验修改一点函数，就会出现很多形状（一些会更有趣，一些则不）。

现在我想给它添加一些颜色，所以我要添加曲面颜色数据：

function surface(a, b) {
    var x = a * 100,
        y = b * 100,
        radius = 50,
        x0 = 50,
        y0 = 50;

    if ((x - x0) * (x - x0) + (y - y0) * (y - y0) < radius * radius) {
        return {
            x: x,
            y: y * (1 + b) / 2,
            r: 100 + Math.floor((1 - b) * 155), // 这将添加一个渐变
            g: 50,
            b: 50
        };
    } else {
        return null;
    }
}

for (a = 0; a < 1; a += .01) {
    for (b = 0; b < 1; b += .001) {
        if (point = surface(a, b)) {
            context.fillStyle = "rgb(" + point.r + "," + point.g + "," + point.b + ")";
            context.fillRect(point.x, point.y, 1, 1);
        }
    }
}

效果如下：

这里就是一个带颜色的花瓣了！

3D曲面和透视投影

定义三维曲面很简单：只需要为曲面函数添加一个Z属性。作为一个示例，我将要定义一个管道/圆柱体：

function surface(a, b) {
    var angle = a * Math.PI * 2,
        radius = 100,
        length = 400;

    return {
        x: Math.cos(angle) * radius,
        y: Math.sin(angle) * radius,
        z: b * length - length / 2, // 通过剪掉lenght/2，我把管道的中心放在（0，0，0）
        r: 0,
        g: Math.floor(b * 255),
        b: 0
    };
}

现在，为了添加透视投影，第一步我们要定义一个相机：

我将把相机放置在坐标（0，0，cameraZ）上并把从相机到画布的距离称为“透视”。我会考虑到画布是在X / Y平面，以（0，0，cameraZ +透视）为中心。现在每个采样点将会被投影到画布上：

var pX, pY,  // 设计画布x和y坐标
    perspective = 350,
    halfHeight = canvas.height / 2,
    halfWidth = canvas.width / 2,
    cameraZ = -700;

for (a = 0; a < 1; a += .001) {
    for (b = 0; b < 1; b += .01) {
        if (point = surface(a, b)) {
            pX = (point.x * perspective) / (point.z - cameraZ) + halfWidth;
            pY = (point.y * perspective) / (point.z - cameraZ) + halfHeight;
            context.fillStyle = "rgb(" + point.r + "," + point.g + "," + point.b + ")";
            context.fillRect(pX, pY, 1, 1);
        }
    }
}

这将有如下的效果：

Z-缓冲

Z-缓冲在计算机图形学上是非常常见的技术，用于通过已经绘制过更远的点来绘制离相机更近的点。它的工作原理是维持一个数组来记录图像上所有靠近z轴的点。

这是可视化Z-缓冲的玫瑰，黑色表示远离相机，白色表示靠近相机。

实现如下：

var zBuffer = [],
    zBufferIndex;

for (a = 0; a < 1; a += .001) {
    for (b = 0; b < 1; b += .01) {
        if (point = surface(a, b)) {
            pX = Math.floor((point.x * perspective) / (point.z - cameraZ) + halfWidth);
            pY = Math.floor((point.y * perspective) / (point.z - cameraZ) + halfHeight);
            zBufferIndex = pY * canvas.width + pX;
            if ((typeof zBuffer[zBufferIndex] === "undefined") || (point.z < zBuffer[zBufferIndex])) {
                zBuffer[zBufferIndex] = point.z;
                context.fillStyle = "rgb(" + point.r + "," + point.g + "," + point.b + ")";
                context.fillRect(pX, pY, 1, 1);
            }
        }
    }
}

旋转圆柱体

你可以使用任何矢量旋转的方法。在这个例子里，我使用欧拉旋转。让我们来实现绕Y轴旋转：

function surface(a, b) {
    var angle = a * Math.PI * 2,
        radius = 100,
        length = 400,
        x = Math.cos(angle) * radius,
        y = Math.sin(angle) * radius,
        z = b * length - length / 2,
        yAxisRotationAngle = -.4, // in radians!
        rotatedX = x * Math.cos(yAxisRotationAngle) + z * Math.sin(yAxisRotationAngle),
        rotatedZ = x * -Math.sin(yAxisRotationAngle) + z * Math.cos(yAxisRotationAngle);

    return {
        x: rotatedX,
        y: y,
        z: rotatedZ,
        r: 0,
        g: Math.floor(b * 255),
        b: 0
    };
}

效果如下：

蒙特卡罗抽样

我一直在这篇文章中使用基于间隔的采样。它需要为每个曲面设置适当的时间间隔。如果间隔大，渲染的速度快，但是曲面上会出现未完全填充的洞。另一方面，如果时间间隔太小，渲染的时间会增长为一个惊人的数量。

所以，让我们切换到蒙特卡罗抽样：

var i;

window.setInterval(function () {
    for (i = 0; i < 10000; i++) {
        if (point = surface(Math.random(), Math.random())) {
            pX = Math.floor((point.x * perspective) / (point.z - cameraZ) + halfWidth);
            pY = Math.floor((point.y * perspective) / (point.z - cameraZ) + halfHeight);
            zBufferIndex = pY * canvas.width + pX;
            if ((typeof zBuffer[zBufferIndex] === "undefined") || (point.z < zBuffer[zBufferIndex])) {
                zBuffer[zBufferIndex] = point.z;
                context.fillStyle = "rgb(" + point.r + "," + point.g + "," + point.b + ")";
                context.fillRect(pX, pY, 1, 1);
            }
        }
    }
}, 0);

现在A和B参数被设置为2个随机值。通过足够多点的采样，我们填充了曲面。感谢采样间隔，我可以每次绘制10000个点，然后让屏幕刷新。

另外需要说明的是，只有随机数生成器足够好才能保证曲面的充分填充。在一些浏览器中，Math.random通过线性同余生成器来实现，这可能会导致曲面产生一些问题。如果你需要一个好的PRNG采样，可以使用一些高质量的方式例如Mersenne Twister（它有JS的实现），或者使用一些浏览器提供的密码随机生成器。使用低差异序列也是非常可取的。

最后的事项

要完成这个玫瑰，玫瑰的每个部分，每一个曲面，都会在同一时间统一进行渲染。我为选择玫瑰一部分的函数添加另外一个参数来返回一个点。从数学来说这是一个分段函数，其中每一块各代表了玫瑰的一部分。对花瓣来说，我用旋转和伸展/变形来创建所有的花瓣。所有的一切都是通过文章中所介绍的概念来综合实现的。

虽然显式曲面抽样是一个相当有名，和3D图形学最古老的方法之一，但是像我这样艺术的使用分段/蒙特卡洛/Z-缓冲已经相当少见了。不算非常有创意，在现实生活场景中可能也不算有用，但它非常适合js1k这种要求简单和文件大小的环境。

我真的希望能通过这篇文章激发读者对计算机图形学的兴趣，并乐于尝试所有不同的渲染方式。图形学里包含一整个世界，在其中进行探索和发挥是相当美妙的。