Description
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。
Input
第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。
Output
输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。
Sample Input
样例输入1：
6 3 1
aabaab
aab
样例输入2：
6 3 2
aabaab
aab
Sample Output
样例输出1：
2
样例输出2：
7
Hint
数据范围：
对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;
对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2;
对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m;
对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m;
对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m;
对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。
Solution
这道题一看tm就是道DP题，而且第一感觉会很复杂
设状态
首先先来观察，我们设状态的话，要存储的应该有当前位置i，被匹配到的位置j，用了几个子串k（dp[i][j][k]）
但我们发现还有一个棘手的问题，如何判断当前的是一个独立的子串还是连接到前面的子串
那么我们就要知道某一个位置是否被匹配，再加上一维[0/1]代表是否被匹配
状态转移
对于dp[i][j][k][0]，他没被匹配，那匹配位置没变，子串个数没变，从i-1转移就是 dp[i-1][j][k][0]+dp[i-1][j][k][1]
对于dp[i][j][k][1]，前提条件就是A[i]==B[j]，满足条件后我们发现，它可以分别从 (1)前一位没被匹配 (2)前一位被匹配，这个字符连接到前面一个子串 (3)前一位没被匹配，这一个字符单独成为一个子串，那么转移方程为dp[i-1][j-1][k-1][0]+dp[i-1][j-1][k-1][1]+dp[i-1][j-1][k][1]
细节&优化
边界条件：dp[i][1][1][0]=sigma(j=1->i-1)(A[j]==B[1])（显然可以累计，不需要每次求） dp[i][1][1][1]=(A[i]==B[1])
dp[1000][200][200][2]的空间是显然爆炸的，由于只要用到前一维，可以滚一滚第一维
而每次计算完dp[i]后，要清空dp[i-1]，否则会对dp[i+1]产生干扰(因为是滚动的)
Code
1 #include<set> 2 #include<map> 3 #include<stack> 4 #include<queue> 5 #include<cstdio> 6 #include<cstring> 7 #include<iostream> 8 #include<algorithm> 9 #define RG register int 10 #define rep(i,a,b) for(RG i=a;i<=b;i++) 11 #define per(i,a,b) for(RG i=a;i>=b;i--) 12 #define ll long long 13 #define inf (1<<30) 14 #define maxm 205 15 using namespace std; 16 const ll mo=1000000007; 17 int n,m,t,p,q; 18 ll sum; 19 ll dp[2][maxm][maxm][2]; 20 char A[1005],B[maxm]; 21 inline int read() 22 { 23 int x=0,f=1;char c=getchar(); 24 while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} 25 while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();} 26 return x*f; 27 } 28 29 int main() 30 { 31 n=read(),m=read(),t=read(); 32 scanf("%s",A+1);scanf("%s",B+1); 33 p=1,q=0; 34 rep(i,1,n) 35 { 36 swap(p,q); 37 dp[p][1][1][0]=sum; 38 if(A[i]==B[1]) dp[p][1][1][1]=1,sum++; 39 rep(j,2,m) 40 rep(k,1,t) 41 { 42 if(A[i]==B[j]) (dp[p][j][k][1]=(dp[q][j-1][k-1][0]+dp[q][j-1][k][1])%mo+dp[q][j-1][k-1][1])%=mo; 43 dp[p][j][k][0]=(dp[q][j][k][0]+dp[q][j][k][1])%mo; 44 } 45 rep(j,1,m) rep(k,1,t) dp[q][j][k][0]=dp[q][j][k][1]=0; 46 } 47 cout<<(dp[p][m][t][0]+dp[p][m][t][1])%mo; 48 return 0; 49 }