GYM-100199H Cracking' RSA 数论，高斯消元求自由变元
题意
首先题目友好的给定一个(t) ，再给定一个数(m) 表示接下来有(m) 个数，表示接下来的数字都由素数表中的前(t)个数组成。
从这(m)个数中选择一些子集，要求子集的元素乘积是完全平方数的子集的个数。
[1 leq t leq 100\
1leq m leq 100\
1leq b_i leq 10^9
]
分析
一个数是完全平方数，等价于其各个质因子的幂次方是偶数。
这个(m)的数据很容易让人想到高斯消元。
对于任意子集，相当于要求满足(t) 个方程。
这个方程表示幂的和是偶数，也就是模2下等于0。
那么这题就容易了
最后对这个方程组高斯消元求出自由变元的个数，即表示一种方案。这些方案进行任意叠加都是可行的。最后去掉空集即可。
此题难点可能在于高斯消元，这里偷懒直接使用网上的模板。
int a[maxn][maxn]; // 增广矩阵
int x[maxn]; // 解集
bool free_x[maxn]; // 标记是否为不确定的变元
// 高斯消元法解方程组
//-2表示有浮点数解,但无整数解
//-1表示无解
//0表示唯一解
//大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数
//有equ个方程,var个变元
//增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ, int var, int mod)
{
int i, j, k;
int max_r;//当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for (int i = 0; i <= var; i++)
{
x[i] = 0;
free_x[i] = true;
}
//转换为阶梯阵.
col = 0;//当前处理的列
for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
{
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减小误差)
max_r = k;
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{
if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k)
{// 与第k行交换.
for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
if (a[k][col] == 0)
{// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{// 枚举要删去的行.
if (a[i][col] != 0)
{
LCM = Lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]);
tb = LCM / abs(a[k][col]);
if (a[i][col] * a[k][col] < 0)tb = -tb;//异号的情况是相加
for (j = col; j < var + 1; j++)
{
a[i][j] = ((a[i][j] * ta - a[k][j] * tb) % mod + mod) % mod;
}
}
}
}
//无解的情况
for (i = k; i < equ; i++)
{
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 无穷解的情况
if (k < var)
{
//自由变元有var-k个,即不确定的变元至少有var-k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j] % mod;
temp = (temp % mod + mod) % mod;
}
x[free_index] = (temp / a[i][free_index]) % mod;//求出该变元.
free_x[free_index] = 0;//该变元是确定的.
}
return var - k; //自由变元有var-k个.
}
//唯一解的情况
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
temp = (temp % mod + mod) % mod;
}
while (temp % a[i][i] != 0) temp += mod;
x[i] = (temp / a[i][i]) % mod;
}
return 0;
}
int prime[maxn]; //保存质数
int vis[maxn]; //是否被筛
int euler_sieve(int n) {
int cnt = 0;
for (int i = 2;i <= n; i++) {
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt; j++) {
if (i * prime[j] > n) break;
vis[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
return cnt; //返回x小于等于n的s素数的个数
}
#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4
class BigNum
{
private:
int a[2005]; //可以控制大数的位数
int len; //大数长度
public:
BigNum() { len = 1; memset(a, 0, sizeof(a)); } //构造函数
BigNum(const int); //将一个int类型的变量转化为大数
BigNum(const char*); //将一个字符串类型的变量转化为大数
BigNum(const BigNum&); //拷贝构造函数
BigNum& operator=(const BigNum&); //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
friend istream& operator>>(istream&, BigNum&); //重载输入运算符
friend ostream& operator<<(ostream&, BigNum&); //重载输出运算符
BigNum operator+(const BigNum&) const; //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算
BigNum operator-(const BigNum&) const; //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算
BigNum operator*(const BigNum&) const; //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算
BigNum operator/(const int&) const; //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算
BigNum operator^(const int&) const; //大数的n次方运算
int operator%(const int&) const; //大数对一个int类型的变量进行取模运算
bool operator>(const BigNum& T)const; //大数和另一个大数的大小比较
bool operator>(const int& t)const; //大数和一个int类型的变量的大小比较
void print(); //输出大数
};
BigNum::BigNum(const int b) //将一个int类型的变量转化为大数
{
int c, d = b;
len = 0;
memset(a, 0, sizeof(a));
while (d > MAXN)
{
c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
d = d / (MAXN + 1);
a[len++] = c;
}
a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char* s) //将一个字符串类型的变量转化为大数
{
int t, k, index, l, i;
memset(a, 0, sizeof(a));
l = strlen(s);
len = l / DLEN;
if (l % DLEN)
len++;
index = 0;
for (i = l - 1; i >= 0; i -= DLEN)
{
t = 0;
k = i - DLEN + 1;
if (k < 0)
k = 0;
for (int j = k; j <= i; j++)
t = t * 10 + s[j] - '0';
a[index++] = t;
}
}
BigNum::BigNum(const BigNum& T) : len(T.len) //拷贝构造函数
{
int i;
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < len; i++)
a[i] = T.a[i];
}
BigNum& BigNum::operator=(const BigNum& n) //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
{
int i;
len = n.len;
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < len; i++)
a[i] = n.a[i];
return *this;
}
istream& operator>>(istream& in, BigNum& b) //重载输入运算符
{
char ch[MAXSIZE * 4];
int i = -1;
in >> ch;
int l = strlen(ch);
int count = 0, sum = 0;
for (i = l - 1; i >= 0;)
{
sum = 0;
int t = 1;
for (int j = 0; j < 4 && i >= 0; j++, i--, t *= 10)
{
sum += (ch[i] - '0') * t;
}
b.a[count] = sum;
count++;
}
b.len = count++;
return in;
}
ostream& operator<<(ostream& out, BigNum& b) //重载输出运算符
{
int i;
cout << b.a[b.len - 1];
for (i = b.len - 2; i >= 0; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << b.a[i];
}
return out;
}
BigNum BigNum::operator+(const BigNum& T) const //两个大数之间的相加运算
{
BigNum t(*this);
int i, big; //位数
big = T.len > len ? T.len : len;
for (i = 0; i < big; i++)
{
t.a[i] += T.a[i];
if (t.a[i] > MAXN)
{
t.a[i + 1]++;
t.a[i] -= MAXN + 1;
}
}
if (t.a[big] != 0)
t.len = big + 1;
else
t.len = big;
return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum& T) const //两个大数之间的相减运算
{
int i, j, big;
bool flag;
BigNum t1, t2;
if (*this > T)
{
t1 = *this;
t2 = T;
flag = 0;
}
else
{
t1 = T;
t2 = *this;
flag = 1;
}
big = t1.len;
for (i = 0; i < big; i++)
{
if (t1.a[i] < t2.a[i])
{
j = i + 1;
while (t1.a[j] == 0)
j++;
t1.a[j--]--;
while (j > i)
t1.a[j--] += MAXN;
t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
}
else
t1.a[i] -= t2.a[i];
}
t1.len = big;
while (t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
{
t1.len--;
big--;
}
if (flag)
t1.a[big - 1] = 0 - t1.a[big - 1];
return t1;
}
BigNum BigNum::operator*(const BigNum& T) const //两个大数之间的相乘运算
{
BigNum ret;
int i, j, up;
int temp, temp1;
for (i = 0; i < len; i++)
{
up = 0;
for (j = 0; j < T.len; j++)
{
temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
if (temp > MAXN)
{
temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
up = temp / (MAXN + 1);
ret.a[i + j] = temp1;
}
else
{
up = 0;
ret.a[i + j] = temp;
}
}
if (up != 0)
ret.a[i + j] = up;
}
ret.len = i + j;
while (ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int& b) const //大数对一个整数进行相除运算
{
BigNum ret;
int i, down = 0;
for (i = len - 1; i >= 0; i--)
{
ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
}
ret.len = len;
while (ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
int BigNum::operator %(const int& b) const //大数对一个int类型的变量进行取模运算
{
int i, d = 0;
for (i = len - 1; i >= 0; i--)
{
d = ((d * (MAXN + 1)) % b + a[i]) % b;
}
return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int& n) const //大数的n次方运算
{
BigNum t, ret(1);
int i;
if (n < 0)
exit(-1);
if (n == 0)
return 1;
if (n == 1)
return *this;
int m = n;
while (m > 1)
{
t = *this;
for (i = 1; i << 1 <= m; i <<= 1)
{
t = t * t;
}
m -= i;
ret = ret * t;
if (m == 1)
ret = ret * (*this);
}
return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum& T) const //大数和另一个大数的大小比较
{
int ln;
if (len > T.len)
return true;
else if (len == T.len)
{
ln = len - 1;
while (a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
ln--;
if (ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
return true;
else
return false;
}
else
return false;
}
bool BigNum::operator >(const int& t) const //大数和一个int类型的变量的大小比较
{
BigNum b(t);
return *this > b;
}
void BigNum::print() //输出大数
{
int i;
cout << a[len - 1];
for (i = len - 2; i >= 0; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << a[i];
}
cout << endl;
}
int main() {
freopen("rsa.in", "r", stdin);
freopen("rsa.out", "w", stdout);
int cnt = euler_sieve(800);
int t = readint(), m = readint();
for (int j = 0; j < m; j++) {
int tmp = readint();
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
if (tmp % prime[i] == 0) {
while (tmp % prime[i] == 0) tmp /= prime[i], a[i][j]++;
}
a[i][j] %= 2;
}
}
int num = Gauss(t, m, 2);
BigNum base(2);
base = base ^ num;
base = base - 1;
base.print();
}