题目描述
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。
输入输出格式
输入格式：
输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。
输出格式：
输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。
1≤M≤108，1≤N≤M，且MN≤1016。
输入输出样例
2 4
12
说明
这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
题解：
一张可行的卡片，就是将上面的数字经过加减变换能够得到1，于是我们可以猜想一下卡片上的数字所需满足的要求。首先很容易猜到，这些数字必然有奇数有偶数，但是仅满足这个条件是显然不够的，
如3,6就无法得出1来，于是可以继续猜想这些数字两两互质，即所有数字的公因数为1，用数论的方法可以证明这个猜想是正确的。然后可以用容斥原理来算出答案，这里举个例子来说明，假设m=30=2*3*5,
答案=m^n-(有公因数2的n元组)-(有公因数3的n元组)-(有公因数5的n元组)+(有公因数2,3的n元组)+(有公因数2,5的n元组)+(有公因数3,5的n元组)-(有公因数2,3,5的n元组)
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long lol; lol n,m,ans,cnt,p[100001]; lol qpow(lol a,lol b) { lol ans=1; while(b) { if(b&1)ans=ans*a; a=a*a; b>>=1; } return ans; } void make(lol m) { for(int i=2;i*i<=m;i++) { if(m%i==0) { p[++cnt]=i; while(m%i==0)m/=i; } } if(m-1)p[++cnt]=m; } bool b[100001]; void dfs(lol x,lol a,lol k) { lol tot=0; if(x) { tot=pow(m/a,n); if(x&1)ans-=tot; else ans+=tot; } for(int i=k+1;i<=cnt;i++) { if(!b[i]) { b[i]=1; dfs(x+1,a*p[i],i); b[i]=0; } } } int main() { lol i,j; scanf("%lld%lld",&n,&m); ans=qpow(m,n); make(m); dfs(0,1,0); printf("%lld",ans); return 0; }