【CF1119H】Triple

题面

题解

有一个想法就是把每一个({a_i,b_i,c_i})写成生成函数( ext{F}_i)然后 FWT 起来，再 IFWT 回去发现这样是过不了的。
因为有(FWT(A imes B)=FWT(A) imes FWT(B))，
所以 FWT 后所得的结果就是直接把每个 FWT 后再点积起来，即(FWT(prod ext F_k)=prod FWT( ext F_k)[i]=prod_{j=1}^n(-1)^{|a_j&i|}x+(-1)^{|b_j&i|}y+(-1)^{|c_j&i|}z)，想办法求出(FWT)数组。
因为每个项都是(x,y,z)加减起来的，但是这样子的话有(8)种结果，比较烦，考虑将每个三元组异或上(a_i)，那么找(i)最终答案的项数再异或上一个(oplus_i a_i)即可，三元组就变为({0,a_ioplus b_i,a_ioplus c_i})。
那么现在我们只有(x+y+z,x+y-z,x-y+z,x-y-z)，想办法将四种情况的数目求出来，设对于某个(i)，四种情况的数目为(e,f,g,h)，那么显然有(e+f+g+h=n)。

如果令( ext F_k[b_k]=1)，其他项为(0)，相当于(x=0,y=1,z=0)，那么最终求出来的结果就是(y)前面的系数，即(y)系数为正减去(y)系数为负的情况，那么有(e+f-g-h=FWT(sum ext F_k)[i])（(sum ext F_k)在括号里是因为(FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B))）

同理可以令( ext F_k[c_k]=1,a_k=b_k=0)，其他项为(0)，相当于(x=0,y=0,z=1)，那么求的是(z)前面的系数，有(e-f+g-h=FWT(sum ext F_k)[i])。

再令( ext F_k[b_koplus c_k]=1)其他为(0)，那么就是求的两个的卷积=点值点积即( ext F_k[i]=(-1)^{|b_j&i|}(-1)^{|c_j&i|})，也是同时考虑(x,y)前符号相同(-)不同，即(e-f-g+h=FWT(sum ext F_k)[i])。

把(e,f,g,h)解方程解出来就好了，实现细节详见代码。

代码

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <cstdlib> 
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
using LL = long long; 
const int Mod = 998244353, inv2 = (Mod + 1) >> 1; 
int fpow(int x, LL y) {
    int res = 1; 
    while (y) {
        if (y & 1) res = 1ll * res * x % Mod; 
        x = 1ll * x * x % Mod; 
        y >>= 1; 
    } 
    return res; 
} 
const int MAX_N = 1 << 17 | 1; 
int N, K, Limit; 
void FWT(LL p[]) { 
    for (int i = 1; i < Limit; i <<= 1) 
        for (int j = 0; j < Limit; j += i << 1) 
            for (int k = 0; k < i; k++) { 
                LL x = p[j + k], y = p[i + j + k]; 
                p[j + k] = x + y, p[i + j + k] = x - y; 
            } 
}
void IFWT(LL p[]) { 
    for (int i = 1; i < Limit; i <<= 1) 
        for (int j = 0; j < Limit; j += i << 1) 
            for (int k = 0; k < i; k++) { 
                LL x = p[j + k] % Mod, y = p[i + j + k] % Mod; 
    		p[j + k] = 1ll * (x + y) * inv2 % Mod, p[i + j + k] = 1ll * (x - y + Mod) * inv2 % Mod; 
            } 
} 
     
LL F[MAX_N], G[MAX_N], H[MAX_N], A[MAX_N];
int x, y, z; 
int sum;
LL s1, s2, s3, s4; 
     
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif 
    scanf("%d %d %d %d %d", &N, &K, &x, &y, &z); Limit = 1 << K; 
    for (int i = 1; i <= N; i++) { 
        int a, b, c; scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); 
        sum ^= a, ++F[a ^ b], ++G[a ^ c], ++H[b ^ c]; 
    } 
    s1 = 1ll * x + y + z, s2 = 1ll * x + y - z, s3 = 1ll * x - y + z, s4 = 1ll * x - y - z;
    s1 %= Mod, s2 %= Mod, s3 %= Mod, s4 %= Mod; 
    FWT(F), FWT(G), FWT(H); 
    for (int i = 0; i < Limit; i++) {
        LL e = (N + F[i] + G[i] + H[i]) >> 2; 
        LL f = (N + F[i] - 2 * e) >> 1; 
        LL g = (N + G[i] - 2 * e) >> 1;
        LL h = (N + H[i] - 2 * e) >> 1; 
        A[i] = 1ll * fpow(s1, e) * fpow(s2, f) % Mod * fpow(s3, g) % Mod * fpow(s4, h) % Mod; 
    } 
    IFWT(A); 
    for (int i = 0; i < Limit; i++) printf("%I64d ", (A[i ^ sum] + Mod) % Mod); 
    putchar('
'); 
    return 0; 
}