三角函数公式整理

诱导公式及其相关常见题型

part 1

奇变偶不变，符号看象限

[egin{aligned} &cos {left(2pi + alpha ight)} =cos alpha\ &sin {left( 2pi + alpha ight) } = sin alpha\ & an {left( 2pi + alpha ight)} = an alpha end{aligned} ]

[egin{aligned} &cos {left(pi + alpha ight)} =-cos alpha\ &sin {left( pi + alpha ight) } = -sin alpha\ & an {left( pi + alpha ight)} = an alpha end{aligned} ]

[egin{aligned} &cos {left(-alpha ight)} =cos alpha\ &sin {left(-alpha ight) } = -sin alpha\ & an {left(-alpha ight)} = - an alpha end{aligned} ]

[egin{aligned} &cos {left(pi - alpha ight)} =-cos alpha\ &sin {left( pi - alpha ight) } = sin alpha\ & an {left( pi - alpha ight)} = - an alpha end{aligned} ]

[egin{aligned} &cos {left(frac pi 2 - alpha ight)} =sin alpha\ &sin {left( frac pi 2 - alpha ight) } = cos alpha\ end{aligned} ]

[egin{aligned} &cos {left(frac pi 2 + alpha ight)} =-sin alpha\ &sin {left( frac pi 2 + alpha ight) } = cos alpha\ end{aligned} ]

part2

[sin^2x+cos^2x=1 ]

• 对于高次三角函数式子的化简，一般直接因式分解或者构造(sin^2x+cos^2x=1)来达到降幂目的。
• 对于整式，可以将分母看做(sin^2x+cos^2x)将式子化为齐次式，然后同除
  (cos^2x)可以得到一个与( an x)相关的式子。然后可以直接解方程或联立其他式子得到( an x)。
• 对于根式，一般做法是将其中的(1)化为(sin^2 x + cos^2 x)然后利用完全平方公式去根号。

part3

(cos x sin x)与(sin x +cos x,sin x - cos x)的关系
直接利用完全平方公式即可。
或者也可以利用齐次式化成( an x)，然后解直角三角形得到(sin x)和(cos x)，但是一般来说这样计算量会巨大，所以更正常的做法是直接利用完全平方公式。

part4

(sin x)和(cos x)为方程(x^2+ax+a=0)的两根。求值
利用韦达定理，列出两个方程，然后再利用(cos^2x+sin^2x=1)构造方程联立求解。注意判断(Delta>0)。

part5

三角形(ABC)中，(sin(A+B-C)=sin(A-B+C))，三角形形状？
注意分类。
(sin alpha=sin alpha)->等腰。
(sin alpha=sin {(pi -alpha)})->直角。

part7

三角函数图象。
(y=sin x)的对称轴为(x=kpi+frac pi 2,kin Z)，对称中心为((kpi,0),kin Z)，奇函数
(y=cos x)的对称轴为(x=kpi,kin Z)，对称中心为((kpi+frac pi 2,0),kin Z)，偶函数
(y= an x)的对称轴为(x=kpi+frac pi 2,kin Z)，对称中心为((kpi,0),kin Z)，奇函数

part8

函数(y=Asin(omega x+varphi))
最小正周期(T=frac {2pi} omega)。
(A)为函数最值到(x)轴的距离。
利用(y=sin x)构造该函数时，先平移再拉伸与先拉伸再平移是不同的。
如：将(y=sin x)向右平移三个单位长度，再将横坐标放大到原来的(frac 1 2)倍，得到图象(y=sin(2x+3))。将(y=sin x)，将横坐标放大到原来的(frac 1 2)倍，再向右平移三个单位长度，得到图象(y=sin[2(x+3)]=sin(2x+6))。