1. 定义
卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 :
1, 2, 5, 14, 42, 132...
递推式：
令h(0)=1,h(1)=1,
(1) Catalan数满足递推式：
h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
e.g., h(2) = h(0)*h(1) + h(1)*h(0) = 2.
(2) h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
(3) h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
(4) h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
2. 应用
(1) 括号化
矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？ h(n-1)种
(2) 出栈次序 一个栈(容量无穷大)的进栈序列为1,2,3,4...,n，问有多少种不同的出栈序列？ h(n)种
分析：
首先，我们设f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。
我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的（最后出栈的元素不同则整个序列也不同），也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。
延伸：
类似问题：买票找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？
(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
h(n)种
(3) 凸多边形三角划分
在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f(n)。比如当n=6时，f(6)=14。
延伸：
类似问题
一位大城市的律师，在她住所的以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？
圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。
(4) 给定节点组成二叉树
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？（能构成h（N）个, 从h(0)=1开始）
Unique Binary Search Trees
Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1
/ / /
3 2 1 1 3 2
/ /
2 1 2 3
程序
public class Solution {
public int numTrees(int n) {
if (n < 0) {
return 0;
}
// 辅助数组
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
// f(n) = sum(f(i) * f(n - 1 - i)), i = 0 到 n - 1
dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
}
}
return dp[n];
}
}
下面是一些大公司的笔试题
先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
C8=1430，所以总数=1430*8！*8！
2012腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
C3=5；所以总数为5*3！*3！=180.
参考资料
http://blog.csdn.net/jtlyuan/article/details/7440591