感知神经网络模型与学习算法

单层感知器

该概念的是在1957年美国学者Rosenblatt提出的。

感知器是监督学习的神经网络模型。单层感知器是包含一个突触权值可调的神经元的感知器模型。是神经网络用来进行模式识别的一种最简单的模型，属于前向神经网络类型，但是仅由一个神经元组成的单层感知器只能区分线性可分的模式。

一个感知器模型，包括一个线性的累加器和一个二值阈值元件，同时还有一个外部偏差b，也称作阈值，其值可以为正，也可以为负。线性累加器的输出与偏差b的和作为二值阈值元件的输入，这样当二值阈值原件的输入是正数时，神经元就产生输出+1，反之，若输入是负数，则产生输出-1

在m维空间，单层感知器进行模式识别的判决超平面由下面的式子决定：$$sum^m_{i=1}omega_ix_i + b = 0$$

决定判别边界超平面的形状的主要参数是权值向量(overrightarrow{omega}) 其训练过程就是找到适合的学习算法可以训练出满意的权值向量。

在20世纪60年代初期，Rosenblatt等就给出了严格的数学证明对线性可分的样本，算法一定是收敛的，就是说(overrightarrow{omega}) 一定存在，否则，判别边界会产生振荡，导致(overrightarrow{omega}) 不能收敛。

单层感知器的学习算法

该学习算法是基于迭代思想，通常是采用误差校正学习规则的学习算法。将偏差b作为神经元突触全职向量的第一个分量加到权值向量中去，那么对应的输入向量也应增加一项，可设输入向量的第一个分量固定为+1，这样输入向量和权值向量可分别写成如下的形式：

[X(n) = left( +1, x_1(n),x_2(n),cdots ,x_m(n) ight)^T ]

[W(n) = left( b(n), omega_1(n), omega_2(n),cdots ,omega_m(n) ight) ]

其中n为迭代次数。b(n)可用(omega_0(n)) 来表示，于是，二值阈值元件的输入可重新写为：

[v = sum^m_{i=0}omega_i(n)x_i(n) = W^T(n)X(n) ]

具体学习算法如下：

1. 设置变量和参量
   (X(n) = left( 1, x_1(n), x_2(n), cdots , x_m(n) ight)) 即训练样本。
   (W(n) = left( b(n), omega_1(n), omega_2(n),cdots ,omega_m(n) ight)) 为权值向量。
   b(n)为偏差 (f(cdot)) 为激活函数， y(n)为网络实际输出，d(n)为期望输出， (eta) 为学习速率，n为迭代次数，e为实际输出与期望输出的误差。
2. 初始化，给权值向量W(0)的各个分量赋一个较小的随机非零值， 设置n=0
3. 输入一组样本(X(n) = left( 1, x_1(n), x_2(n), cdots , x_m(n) ight)) 并给出它的期望输出d(n)
4. 计算实际输出 (y(n) = fleft( sum^m_{i=0} omega_i(n)x_i(n) ight))
5. 求出期望输出和实际输出的误差， (e = d(n) - y(n)) ，根据误差判断目前输出是是否满足条件，若满足条件则算法结束，否则将n值加1，并用下式调整权值$$omega(n+1) = omega(n) + eta[d(n) - y(n)] X(n)$$

在单层感知器学习算法中，最关键的因素是引入了一个量化的期望输出，这样就可以采用误差校正学习规则对权值向量逐步进行修正，最终达到问题所需的精度。

对于线性可分的两类模式，可以证明单层感知器的学习算法是收敛的，即通过调整神经网络各个链接权值可以得到合适的判别边界，正确区分两类模式；而对于线性不可分的两类模式，无法用一条直线区分两类模式，此时，单层感知器的学习算法不是收敛的，即单层感知器无法正确区分线性不可分的两类模式。