1、题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
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2、示例
示例1：
输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例2：
输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
3、解题思路
第一次看到这道题，可能会有点不知所措。但是不要着急，我们可以暴力，我们可以穷举！
思路1：
当 n = 1时，一共跳 1 级；
当 n = 2时，一共跳 2 级；
当 n = 3时，一共跳 3 级；
当 n = 4时，一共跳 5 级；
当 n = 5时，一共跳 8 级；
...
咦？这不就是去了第一个项的斐波那契数列嘛？
到此为止，我们可以列出方程了：f(n) = f(n-1) + f(n-2);
不过，我们需要手动增加 0 项为 1 。
所以，代码如下：
class Solution { public int climbStairs(int n) { if(n==1 || n==0){ return 1; } return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2); } }
提交结果：
思路2：
第二个思路是，利用动态规划。其实，这个题目也是动态规划的经典题目。
本问题其实常规解法可以分成多个子问题，爬第n阶楼梯的方法数量，等于以下两部分之和：
- 爬上 n-1 阶楼梯的方法数量：因为再爬1阶就能到第 n 阶；
- 爬上 n-2 阶楼梯的方法数量：因为再爬2阶就能到第 n 阶。
所以我们得到公式 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]；
同时需要初始化 dp[0]=1 和 dp[1]=1；
时间复杂度：O(n)。
代码如下：
class Solution { public int climbStairs(int n) { if(n==1 || n==0){ return 1; } int[] arr = new int[n+1]; arr[0] = 1; arr[1] = 1; for(int i = 2; i<n+1; i++){ arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2]; } return arr[n]; } }
提交结果如下：
思路3：
是的，这道题还有第三种方法。
那就是纯数学方法，有人说上面不也是数学方法嘛？是的，上面也是，但是下面这个更厉害。
由第一种方法我们可知是斐波那契数列，其实菲波那切数列是有公式的。
时间复杂度为：O(log n)。
代码如下：
class Solution { public int climbStairs(int n) { double sqrt_5 = Math.sqrt(5); double fib_n = Math.pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1); return (int)(fib_n / sqrt_5); } }
提交结果和第二种差不多。
OK ，下一篇我们来看跳台阶的进阶版。
Over......