阿狸的基环内向树森林
Background
当阿狸醒来的时候，发现自己处在基环内向森林的深处，阿狸渴望离开这个乌烟瘴气的地方。“明天还有与桃子的约会呢”，阿狸一边走一边说，“可是，这个森林的出口在哪儿呢？”
阿狸走啊走，走啊走，就是找不到出口。不知所措的他，突然听到了一个苍老的声音：“这是一片有魔法的密林，这里的树的形态也会时不时的变化，晃晃你的小脑瓜，是不是感觉有水在流动呢？”
Description
阿狸所在的森林有 N 个节点，编号从 1 到 N。每个节点都连出去恰好一条有向边，设 i 号点连出去的点为 A[i]。同时，阿狸发现，A[i]≠i，而且 A[A[i]]≠i。
每个节点上都有一些糖果，第 i 个节点上的糖果数为 B[i]。阿狸定义一个节点的糖果稠密度为 C[i]，C[i]求法如下：
假设与 i 距离不超过 1 的点有 D[i]个（包括 i 连出去的点、连向 i 的点以及 i 自己），分别是 P[1]、P[2]…P[D[i]]。
设E[i]=⌊B[i]D[i]⌋E[i]=⌊B[i]D[i]⌋，那么C[i]=B[i]−D[i]×E[i]+∑D[i]j=1E[P[j]]C[i]=B[i]−D[i]×E[i]+∑j=1D[i]E[P[j]]
现在阿狸想让你实现一个糖果稠密度分析仪，这个分析仪要支持三种操作：
➢ 1 i j 表示把 A[i]改为 j，保证 j≠i 且 A[j]≠i。
➢ 2 i 表示询问 C[i]的值，即点 i 的糖果稠密度。
➢ 3 表示询问所有节点中最小的 C[i]的值和最大的 C[i]的值。
Input
第一行两个正整数 N 和 Q，表示节点个数和操作个数。
第二行 N 个正整数，第 i 个数表示 B[i]。
第三行 N 个正整数，第 i 个数表示 A[i]。
接下来 Q 行，每行形如 1 i j 或 2 i 或 3 ，表示操作。
Output
有若干行，表示操作 2 和操作 3 的答案。
Sample Input
5 12
10 20 30 40 50
2 3 4 5 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
1 4 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
3
Sample Output
10
36
28
40
36
9
57
27
28
29
9 57
Data Limitation
对于测试点 1~2，保证 N,Q≤5×103N,Q≤5×103，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 3~6，保证 N,Q≤3×104N,Q≤3×104，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 7~8，保证没有 2 操作，1、3 操作出现次数均在 Q/2 左右。
对于测试点 9~10，保证没有 3 操作，1、2 操作出现次数均在 Q/2 左右。
对于测试点 11~12，保证任何时候 A[i]≤5，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 13~14，保证任何时候 A[i]≤100，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 15~16，保证 B[i]≤100，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于 100%的数据，保证 3≤N≤105，1≤Q≤105，1≤B[i]≤1012，1≤A[i]≤N3≤N≤105，1≤Q≤105，1≤B[i]≤1012，1≤A[i]≤N。
分析
分析那个糖果稠密度，发现可以拆分成“只与i及其周围点数量有关的式子”+“周围一圈的E”。直觉那个修改操作的变动量很少。
由于要修改A，所以想到把“周围一圈的E”拆分成“连向i的点的E”+“i连到的点的E”，然后大力维护即可。
我们可以把一个节点 i 的糖果稠密度 C[i]分成两部分，第一部分是 A[i]对 C[i]的贡献E[A[i]]，第二部分是剩下的点对 i 的贡献 C[i]-E[A[i]]，设 F[i]=C[i]-E[A[i]]。
对于一个节点 i，我们维护两个信息，一个是 E[i]，另一个是所有连向 i 的点的 F 值所构成的集合（也可以用两个堆来维护），设这个集合为 Son[i]。
对于全局我们维护一个集合 S，S 的构成如下：我们把每个节点 i 的 min(Son[i])+E[i]和 max(Son[i])+E[i]两个值加到集合 S 中。
显然，操作 2 的答案就是 E[A[i]]+F[i]，而操作 3 的答案就是 min(S)和 max(S)。
考虑操作 1 怎么维护，把 A[i]的值改成了 j，这个操作会影响的节点是 i、j、A[i]、A[j]、A[A[i]]、A[A[j]]、A[A[A[i]]]，其中 i 的 A 发生了改变， A[i]和 j 的 D、E、F 和 Son 发生了改变，于是 A[A[i]]和 A[j]的 F 和 Son 也随之改变，于是 A[A[A[i]]]和 A[A[j]]的 Son 也改变了。所以分别对这七个节点维护即可，顺便再维护一下 S，常数超级大。
总复杂度是 O(NlogN)
以上为题解
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; inline ll read() { ll s=0; bool f=0; char ch=' '; while(!isdigit(ch)) { f|=(ch=='-'); ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) { s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar(); } return (f)?(-s):(s); } #define R(x) x=read() inline void write(ll x) { if(x<0) { putchar('-'); x=-x; } if(x<10) { putchar(x+'0'); return; } write(x/10); putchar((x%10)+'0'); return; } #define W(x) write(x),putchar(' ') #define Wl(x) write(x),putchar(' ') const int N=100005; int i,j,k,n,m,q,ch,o,x,y; int num[N],f[N]; ll t[N],val[N],dev[N],add[N]; multiset <ll> Ans,Son[N]; set <ll>::iterator it; void rev(int x) { if (Son[x].empty()) return; it=Son[x].begin(); Ans.insert(*it+add[x]); it=Son[x].end();it--; Ans.insert(*it+add[x]); } void del(int x) { if (Son[x].empty()) return; it=Son[x].begin(); Ans.erase(Ans.find(*it+add[x])); it=Son[x].end();it--; Ans.erase(Ans.find(*it+add[x])); } void Rev(int x) { Son[f[x]].insert(val[x]+dev[x]); } void Del(int x) { Son[f[x]].erase(Son[f[x]].find(val[x]+dev[x])); } int main() { freopen("forest.in","r",stdin); freopen("forest.out","w",stdout); R(n);R(q); for (i=1;i<=n;i++) R(t[i]); for (i=1;i<=n;i++) { R(f[i]); num[f[i]]++; } for (i=1;i<=n;i++) { add[i]=t[i]/(num[i]+2); val[i]=t[i]-(num[i]+1)*add[i]; dev[f[i]]+=add[i]; } for (i=1;i<=n;i++) Rev(i); for (i=1;i<=n;i++) rev(i); for (i=1;i<=q;i++) { R(o); if (o==1) { R(x);R(y); if (f[x]==y) continue; del(f[x]);del(f[f[x]]);del(f[f[f[x]]]); Del(x);Del(f[x]);Del(f[f[x]]); dev[f[x]]-=add[x];num[f[x]]--; dev[f[f[x]]]-=add[f[x]]; add[f[x]]=t[f[x]]/(num[f[x]]+2); val[f[x]]=t[f[x]]-(num[f[x]]+1)*add[f[x]]; dev[f[f[x]]]+=add[f[x]]; Rev(f[x]);Rev(f[f[x]]); rev(f[x]);rev(f[f[x]]);rev(f[f[f[x]]]); f[x]=y; del(f[x]);del(f[f[x]]);del(f[f[f[x]]]); Del(f[x]);Del(f[f[x]]); dev[f[x]]+=add[x];num[f[x]]++; dev[f[f[x]]]-=add[f[x]]; add[f[x]]=t[f[x]]/(num[f[x]]+2); val[f[x]]=t[f[x]]-(num[f[x]]+1)*add[f[x]]; dev[f[f[x]]]+=add[f[x]]; Rev(x);Rev(f[x]);Rev(f[f[x]]); rev(f[x]);rev(f[f[x]]);rev(f[f[f[x]]]); continue; } if (o==2) { R(x); Wl(dev[x]+val[x]+add[f[x]]); continue; } it=Ans.begin(); W(*it); it=Ans.end();it--; Wl(*it); } } /* input 5 12 10 20 30 40 50 2 3 4 5 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 4 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 output 10 36 28 40 36 9 57 27 28 29 9 57 */