一、协方差：
可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？
你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。
咱们从公式出发来理解一下：
公式简单翻译一下是：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。
下面举个例子来说明吧：
比如有两个变量X,Y，观察t1-t7（7个时刻）他们的变化情况。
简单做了个图：分别用红点和绿点表示X、Y，横轴是时间。可以看到X，Y均围绕各自的均值运动，并且很明显是同向变化的。
如果反向运动呢？
当然上面说的是两种特殊情况，很多时候X，Y的运动是不规律的，比如：
总结一下，如果协方差为正，说明X，Y同向变化，协方差越大说明同向程度越高；如果协方差为负，说明X，Y反向运动，协方差越小说明反向程度越高。
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一般的同学看到above the line的内容就ok了。但有一些爱钻研的同学，可能会进一步提问：
那就继续往下看……
这种情况是有可能出现的，比如：
另外，如果你还钻牛角尖，说如果t1，t2，t3……t7时刻X，Y都在增大，而且X都比均值大，Y都比均值小，这种情况协方差不就是负的了？7个负值求平均肯定是负值啊？但是X，Y都是增大的，都是同向变化的，这不就矛盾了？
这个更好解释了：这种情况不可能出现！
因为，你的均值算错了……
X，Y的值应该均匀的分布在均值两侧才对，不可能都比均值大，或都比均值小。
所以，实际它的图应该是下面这样的：
好了，现在，对于协方差应该有点感觉了吧？
二、相关系数：
对于相关系数，我们从它的公式入手。一般情况下，相关系数的公式为：
翻译一下：就是用X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差。
所以，相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
既然是一种特殊的协方差，那它：
1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。
2、由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。
比较抽象，下面还是举个例子来说明：
首先，还是承接上文中的变量X、Y变化的示意图（X为红点，Y为绿点），来看两种情况：
很容易就可以看出以上两种情况X，Y都是同向变化的，而这个“同向变化”，有个非常显著特征：X、Y同向变化的过程，具有极高的相似度！无论第一还是第二种情况下，都是：t1时刻X、Y都大于均值，t2时刻X、Y都变小且小于均值，t3时刻X、Y继续变小且小于均值，t4时刻X、Y变大但仍小于均值，t5时刻X、Y变大且大于均值……
可是，计算一下他们的协方差，
第一种情况下：
协方差差出了一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出两种情况下X、Y都是同向变化，但是，一点也看不出两种情况下X、Y的变化都具有相似性这一特点。
这是为什么呢？
因为以上两种情况下，在X、Y两个变量同向变化时，X变化的幅度不同，这样，两种情况的协方差更多的被变量的变化幅度所影响了。
所以，为了能准确的研究两个变量在变化过程中的相似程度，我们就要把变化幅度对协方差的影响，从协方差中剔除掉。于是，相关系数就横空出世了，就有了最开始相关系数的公式：
那么为什么要通过除以标准差的方式来剔除变化幅度的影响呢？咱们简单从标准差公式看一下：
从公式可以看出，标准差计算方法为，每一时刻变量值与变量均值之差再平方，求得一个数值，再将每一时刻这个数值相加后求平均，再开方。
所以标准差描述了变量在整体变化过程中偏离均值的幅度。协方差除以标准差，也就是把协方差中变量变化幅度对协方差的影响剔除掉，这样协方差也就标准化了，它反应的就是两个变量每单位变化时的情况。这也就是相关系数的公式含义了。
总结一下，对于两个变量X、Y，
当他们的相关系数为1时，说明两个变量变化时的正向相似度最大，即，你变大一倍，我也变大一倍；你变小一倍，我也变小一倍。也即是完全正相关（以X、Y为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为正数的直线，所以X、Y是线性关系的）。
随着他们相关系数减小，两个变量变化时的相似度也变小，当相关系数为0时，两个变量的变化过程没有任何相似度，也即两个变量无关。
当相关系数继续变小，小于0时，两个变量开始出现反向的相似度，随着相关系数继续变小，反向相似度会逐渐变大。
当相关系数为－1时，说明两个变量变化的反向相似度最大，即，你变大一倍，我变小一倍；你变小一倍，我变大一倍。也即是完全负相关（以X、Y为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为负数的直线，所以X、Y也是线性关系的）。
有了上面的背景，我们再回到最初的变量X、Y的例子中，可以先看一下第一种情况的相关系数：
X的标准差为
说明第一种情况下，X的变化与Y的变化具有很高的相似度，而且已经接近完全正相关了，X、Y几乎就是线性变化的。
那第二种情况呢？
X的标准差为
说明第二种情况下，虽然X的变化幅度比第一种情况X的变化幅度小了10000倍，但是丝毫没有改变“X的变化与Y的变化具有很高的相似度”这一结论。同时，由于第一种、第二种情况的相关系数是相等的，因此在这两种情况下，X、Y的变化过程有着同样的相似度。
好了，讲了这么多，不知你看完是否对相关系数也有了一些感觉？
三、写在最后
本文主要还是想给非理工专业、入门级的各位朋友看的，自己也曾在茫茫公式海中痛苦过，但后来发现对一个公式的原理有了一个感觉后，它也就变得好记很多了， 而且也愿意深入研究它了。这篇文章也就是培养你对于协方差、相关系数的这种感觉。但是，为了通俗易懂，有些地方也不够全面、严谨。也许你看完本文，经过自 己的学习研究，也会有自己的一些想法，那你可以继续研究一下本题目下其他答主的答案，通过引入向量、内积等定义，会把协方差、相关系数说明得更加严谨和透 彻。总之学习是一个循序渐进的过程，不要觉得彻底明白了什么，那往往是你踏入一个领域的第一步。