二叉树节点的最大距离

昨天花了一个晚上为《编程之美》，在豆瓣写了一篇书评《迟来的书评和感想──给喜爱编程的朋友》。书评就不转载到这里了，取而代之，在这里介绍书里其中一条问题的另一个解法。这个解法比较简短易读及降低了空间复杂度，或者可以说觉得比较「美」吧。

问题定义

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。

书上的解法

书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。

计算一个二叉树的最大距离有两个情况:

情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。
情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。

只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。

我也想不到更好的分析方法。

但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):

// 数据结构定义

struct NODE

{

NODE* pLeft; // 左子树

NODE* pRight; // 右子树

int nMaxLeft; // 左子树中的最长距离

int nMaxRight; // 右子树中的最长距离

char chValue; // 该节点的值

};

int nMaxLen = 0;

// 寻找树中最长的两段距离

void FindMaxLen(NODE* pRoot)

{

// 遍历到叶子节点，返回

if(pRoot == NULL)

{

return;

}

// 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0

if(pRoot -> pLeft == NULL)

{

pRoot -> nMaxLeft = 0;

}

// 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0

if(pRoot -> pRight == NULL)

{

pRoot -> nMaxRight = 0;

}

// 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离

if(pRoot -> pLeft != NULL)

{

FindMaxLen(pRoot -> pLeft);

}

// 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离

if(pRoot -> pRight != NULL)

{

FindMaxLen(pRoot -> pRight);

}

// 计算左子树最长节点距离

if(pRoot -> pLeft != NULL)

{

int nTempMax = 0;

if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)

{

nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;

}

else

{

nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;

}

pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;

}

// 计算右子树最长节点距离

if(pRoot -> pRight != NULL)

{

int nTempMax = 0;

if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)

{

nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;

}

else

{

nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;

}

pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;

}

// 更新最长距离

if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)

{

nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;

}

这段代码有几个缺点:

算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数
逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。

我的尝试

我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。下面的maxdepth就是最大深度，从root根节点-------叶子节点，lhs和rhs子树的maxdistance是子树中的节点之间的最大距离，最后result的maxdistance是最终的最大距离，这个距离的节点可能在不同的子树中，也可能在同一子树中。。。。。

只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:

#include <iostream>

using namespace std;

struct NODE

{

NODE *pLeft;

NODE *pRight;

};

struct RESULT

{

int nMaxDistance;

int nMaxDepth;

};

RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)

{

if (!root)

{

RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.

return empty;

}

RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);

RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);

RESULT result;

result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);

result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);

return result;

}

计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。

为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。

除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

测试代码

以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):

void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)

{

if (left != -1)

nodes[parent].pLeft = &nodes[left];

if (right != -1)

nodes[parent].pRight = &nodes[right];

}

void main()

{

// P. 241 Graph 3-12

NODE test1[9] = { 0 };

Link(test1, 0, 1, 2);

Link(test1, 1, 3, 4);

Link(test1, 2, 5, 6);

Link(test1, 3, 7, -1);

Link(test1, 5, -1, 8);

cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;

// P. 242 Graph 3-13 left

NODE test2[4] = { 0 };

Link(test2, 0, 1, 2);

Link(test2, 1, 3, -1);

cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;

// P. 242 Graph 3-13 right

NODE test3[9] = { 0 };

Link(test3, 0, -1, 1);

Link(test3, 1, 2, 3);

Link(test3, 2, 4, -1);

Link(test3, 3, 5, 6);

Link(test3, 4, 7, -1);

Link(test3, 5, -1, 8);

cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;

// P. 242 Graph 3-14

// Same as Graph 3-2, not test

// P. 243 Graph 3-15

NODE test4[9] = { 0 };

Link(test4, 0, 1, 2);

Link(test4, 1, 3, 4);

Link(test4, 3, 5, 6);

Link(test4, 5, 7, -1);

Link(test4, 6, -1, 8);

cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;

}

你想到更好的解法吗?

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义“距离”为两个节点之间边的个数。

写一个程序求一颗二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。

如图3-11所示，粗箭头的边表示最长距离：

分析与解法

我们先画几个不同形状的二叉树，（如图3-12所示），看看能否得到一些启示。

从例子中可以看出，相距最远的两个节点，一定是两个叶子节点，或者是一个叶子节点到它的根节点。（为什么？）

解法一

根据相距最远的两个节点一定是叶子节点这个规律，我们可以进一步讨论。

对于任意一个节点，以该节点为根，假设这个根有K个孩子结点，那么相距最远的两个节点U和V之间的路径与这个根节点的关系有两种情况：

1. 若路径经过根Root，则U和V是属于不同子树的，且它们都是该子树中道根节点最远的节点，否则跟它们的距离最远相矛盾。这种情况如图3-13所示：

2. 如果路径不经过Root，那么它们一定属于根的K个子树之一。并且它们也是该子树中相距最远的两个顶点。如图3-14中的节点A：

因此，问题就可以转化为在字数上的解，从而能够利用动态规划来解决。

设第K棵子树中相距最远的两个节点：Uk和Vk，其距离定义为d(Uk,Vk)，那么节点Uk或Vk即为子树K到根节点Rk距离最长的节点。不失一般性，我们设Uk为子树K中道根节点Rk距离最长的节点，其到根节点的距离定义为d(Uk,R)。取d(Ui,R)(1<=i<=k)中最大的两个值max1和max2，那么经过根节点R的最长路径为max1+max2+2，所以树R中相距最远的两个点的距离为：max{d(U1,V1),…, d(Uk,Vk),max1+max2+2}。

采用深度优先搜索如图3-15，只需要遍历所有的节点一次，时间复杂度为O(|E|)=O(|V|-1)，其中V为点的集合，E为边的集合。

示例代码如下，我们使用二叉树来实现该算法。

//数据结构定义

struct NODE

{

NODE* pLeft; //左孩子

NODE* pRight; //右孩子

int nMaxLeft; //左孩子中的最长距离

int nMaxRight; //右孩子中的最长距离

char chValue; //该节点的值

};

int nMaxLen=0;

//寻找树中最长的两段距离

void FindMaxLen(NODE* pRoot)

{

//遍历到叶子节点，返回

if(pRoot==NULL)

{

return;

}

//如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0

if(pRoot->pLeft==NULL)

{

pRoot->nMaxLeft=0;

}

//如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0

if(pRoot->pRight==NULL)

{

pRoot->nMaxRight=0;

}

//如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离

if(pRoot->pLeft!=NULL)

{

FindMaxLen(pRoot->pLeft);

}

//如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离

if(pRoot->pRight!=NULL)

{

FindMaxLen(pRoot->pRight);

}

if(pRoot->pLeft!=NULL)

{

int nTempMax=0;

if(pRoot->pLeft->nMaxLeft > pRoot->pLeft->nMaxRight)

nTempMax=pRoot->pLeft->nMaxLeft;

else

nTempMax=pRoot->pLeft->nMaxRight;

pRoot->nMaxLeft=nTempMax+1;

}

//计算右子树最长节点距离

if(pRoot->pRight!=NULL)

{

int nTempMax=0;

if(pRoot->pRight->nMaxLeft > pRoot->pRight->nMaxRight)

nTempMax= pRoot->pRight->nMaxLeft;

else

nTempMax= pRoot->pRight-> nMaxRight;

pRoot->nMaxRight=nTempMax+1;

}

//更新最长距离

if(pRoot->nMaxLeft+pRoot->nMaxRight > nMaxLen)

nMaxLen=pRoot->nMaxLeft+pRoot->nMaxRight;

}