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定义：

连续时间傅里叶变换的公式是：

$int_{-infty}^{infty } x(t)e^{-jomega t} dt$

这里的 $omega$ 是实数。
傅里叶变换要求时域信号绝对可积，即

$int_{-infty }^{infty } left| x(t) ight| dt<infty$
为了让不符合这个条件的信号，也能变换到频率域，我们给x(t)乘上一个指数函数 $e^{-sigma t}$ ， $sigma$ 为任意实数。
可以发现， $x(t)e^{-sigma t}$ 这个函数，就满足了绝对可积的条件，即

$int_{-infty }^{infty } left| x(t)e^{-sigma t} ight| dt<infty$

关于为什么 $xleft( t ight)e^{-sigma t}$ 满足绝对可积条件，这里提一下，感性地说，我们知道负指数函数随t的增大，趋于零的速度是所有函数中最快的，这也是为什么我们描述某个现象暴涨的时候会说指数上升。因此大多数一般的函数 $xleft( t ight)$ 乘上某个负指数函数之后，一定绝对可积。
用更加严谨的数学表达，对于大多数 $x(t)$ ， $exists sigmain Re$ ，使得 $lim_{t ightarrow infty}{e^{-sigma t}}$ 是 $lim_{t ightarrow infty}{xleft( t ight)}$ 的高阶无穷小。即 $lim_{t ightarrow infty}{frac{e^{-sigma t}}{xleft( t ight)}}=0$ 。因此在 $e^{-sigma t}$ 的压迫下， $x(t)e^{-sigma t}$ 就满足了绝对可积的条件。

于是这个新函数的傅立叶变换就是：

$int_{-infty }^{infty } x(t)e^{-sigma t} e^{-jomega t} dt$
化简得

$int_{-infty }^{infty } x(t)e^{-(sigma +jomega )t}$

显然 $sigma +jomega$ 是一个复数，我们把这个复数定义为一个新的变量——复频率，记为s。
于是便得到了拉普拉斯变换的公式：

$int_{-infty }^{infty } x(t)e^{-st} dt$

所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。

传递函数：

对于最简单的连续时间输入信号 $x (t)$

系统收敛条件：

传递函数可以分解为以下形式：

Sp为r重极点，Si为一阶极点。

反变换得到系统冲激响应：

当极点在jw左半平面时，系统是稳定的（收敛）。

系统频率响应：

s=jw,即为系统的傅里叶变换，即为系统的频率响应。频率响应函数可以表示成零极点的形式。

波特图：

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原文地址：https://www.cnblogs.com/fellow1988/p/9153435.html