【十大经典数据挖掘算法】SVM

【十大经典数据挖掘算法】系列

SVM（Support Vector Machines）是分类算法中应用广泛、效果不错的一类。《统计学习方法》对SVM的数学原理做了详细推导与论述，本文仅做整理。由简至繁SVM可分类为三类：线性可分（linear SVM in linearly separable case）的线性SVM、线性不可分的线性SVM、非线性（nonlinear）SVM。

1. 线性可分

对于二类分类问题，训练集(T = lbrace (x_1,y_1),(x_2,y_2), cdots ,(x_N,y_N) brace)，其类别(y_i in lbrace 0,1 brace)，线性SVM通过学习得到分离超平面（hyperplane）:

[w cdot x + b =0 ]

以及相应的分类决策函数：

[f(x)=sign(w cdot x + b) ]

有如下图所示的分离超平面，哪一个超平面的分类效果更好呢？

直观上，超平面(B_1)的分类效果更好一些。将距离分离超平面最近的两个不同类别的样本点称为支持向量（support vector）的，构成了两条平行于分离超平面的长带，二者之间的距离称之为margin。显然，margin更大，则分类正确的确信度更高（与超平面的距离表示分类的确信度，距离越远则分类正确的确信度越高）。通过计算容易得到：

[margin = frac{2}{|w|} ]

从上图中可观察到：margin以外的样本点对于确定分离超平面没有贡献，换句话说，SVM是有很重要的训练样本（支持向量）所确定的。至此，SVM分类问题可描述为在全部分类正确的情况下，最大化(frac{2}{|w|})（等价于最小化(frac{1}{2}|w|^2)）；线性分类的约束最优化问题：

egin{align}
& min_{w,b} quad frac{1}{2}|w|^2 cr
& s.t. quad y_i(w cdot x_i + b)-1 ge 0 label{eq:linear-st}
end{align}

对每一个不等式约束引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）(alpha_i ge 0, i=1,2,cdots,N)；构造拉格朗日函数（Lagrange function）：

egin{equation}
L(w,b,alpha)=frac{1}{2}|w|^2-sum_{i=1}{N}alpha_i [y_i(w cdot x_i + b)-1] label{eq:lagrange}
end{equation}

根据拉格朗日对偶性，原始的约束最优化问题可等价于极大极小的对偶问题：

[max_{alpha} min_{w,b} quad L(w,b,alpha) ]

将(L(w,b,alpha))对(w,b)求偏导并令其等于0，则

[egin{aligned} & frac{partial L}{partial w} = w-sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i x_i =0 quad Rightarrow quad w = sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i x_i cr & frac{partial L}{partial b} = sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i = 0 quad Rightarrow quad sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i = 0 end{aligned} ]

将上述式子代入拉格朗日函数eqref{eq:lagrange}中，对偶问题转为

[max_{alpha} quad -frac{1}{2}sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{N}alpha_i alpha_j y_i y_j (x_i cdot x_j) + sum_{i=1}^{N}alpha_i ]

等价于最优化问题：

egin{align}
min_{alpha} quad & frac{1}{2}sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}{N}alpha_i alpha_j y_i y_j (x_i cdot x_j) - sum_{i=1}^{N}alpha_i cr
s.t. quad & sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i = 0 cr
& alpha_i ge 0, quad i=1,2,cdots,N
end{align}

线性可分是理想情形，大多数情况下，由于噪声或特异点等各种原因，训练样本是线性不可分的。因此，需要更一般化的学习算法。

2. 线性不可分

线性不可分意味着有样本点不满足约束条件eqref{eq:linear-st}，为了解决这个问题，对每个样本引入一个松弛变量(xi_i ge 0)，这样约束条件变为：

[y_i(w cdot x_i + b) ge 1- xi_i ]

目标函数则变为

[min_{w,b,xi} quad frac{1}{2}|w|^2 + Csum_{i=1}^{N} xi_i ]

其中，(C)为惩罚函数，目标函数有两层含义：

margin尽量大，
误分类的样本点计量少

(C)为调节二者的参数。通过构造拉格朗日函数并求解偏导（具体推导略去），可得到等价的对偶问题：

egin{equation}
min_{alpha} quad frac{1}{2}sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}{N}alpha_i alpha_j y_i y_j (x_i cdot x_j) - sum_{i=1}^{N} {alpha_i} label{eq:svmobj}
end{equation}

egin{align}
s.t. quad & sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i = 0 cr
& 0 le alpha_i le C, quad i=1,2,cdots,N
end{align}

与上一节中线性可分的对偶问题相比，只是约束条件(alpha_i)发生变化，问题求解思路与之类似。

3. 非线性

对于非线性问题，线性SVM不再适用了，需要非线性SVM来解决了。解决非线性分类问题的思路，通过空间变换(phi)（一般是低维空间映射到高维空间(x ightarrow phi(x))）后实现线性可分，在下图所示的例子中，通过空间变换，将左图中的椭圆分离面变换成了右图中直线。

在SVM的等价对偶问题中的目标函数中有样本点的内积(x_i cdot x_j)，在空间变换后则是(phi(x_i) cdot phi(x_j))，由于维数增加导致内积计算成本增加，这时核函数（kernel function）便派上用场了，将映射后的高维空间内积转换成低维空间的函数：

[K(x,z)=phi(x) cdot phi(z) ]

将其代入一般化的SVM学习算法的目标函数eqref{eq:svmobj}中，可得非线性SVM的最优化问题：

egin{align}
min_{alpha} quad & frac{1}{2}sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}{N}alpha_i alpha_j y_i y_j K(x_i,x_j) - sum_{i=1}^{N}alpha_i cr
s.t. quad & sum_{i=1}^{N}alpha_i y_i = 0 cr
& 0 le alpha_i le C, quad i=1,2,cdots,N
end{align}

4. 参考资料

[1] 李航，《统计学习方法》.
[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.