快速幂求a的b次方%m

题目网址：http://class.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1046

前言

当我知道快速幂之后。才发现 a ^ b还能这样算。数学之美就是你在能不断刷新你的认知。

快速幂的递归写法

我们已知 2³ 求 2⁶,不就是 2³ * 2³嘛。快速幂的递归写法就是这个原理。

那有同学问了遇到奇数怎么办？2⁵??

那不就是 2 * 2⁴ 这不就成了嘛。

所以这就是快速幂的基本思路求a^b

1）当b是奇数时，那么有 a^b = a * a^(b-1)

2）当b是偶数时，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

举个例子？2¹⁰

2¹⁰	=	2⁵ * 2⁵
2⁵	=	2 * 2⁴
2⁴	=	2² * 2²
2²	=	2¹ * 2¹
2¹	=	2 * 2⁰

根据这两个条件写递归式嘛，这还不简单？

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

long long quick_pow(long long a, long long b, long long m){//求a的b次方 
    if(b == 0){
        return 1;
    }else if(b % 2 == 1){
        return ((a % m) * (quick_pow(a, b-1, m) % m)) % m;
    }else{
        return ((quick_pow(a, b/2, m) % m) * (quick_pow(a, b/2, m) % m)) % m;
    }
}

int main(){ 
    long long a, b, c, ans = 1, cur = a;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << quick_pow(a, b, c);
    return 0;
}

针对不同的题目，有两个细节需要注意

1）如果初始值a 大于 m ，那么需要在进入函数前就让a 对 m 取模，

2）若果m 为 1，可以直接在函数外部特判为 0，不需要进入函数来计算。（因为任何数对1 取模都是0）

快速幂的迭代写法

a的b次方中a是底数平方这样上去的（2 4 16 256……），b是幂乘二*2上去的（2、4、8、16、32……）

x^{（2^29）}

……

x⁴

x²

x¹

可以把10⁹这么多次循环相乘转换成二进制的29位数字。10⁹次方是怎么变成29位的二进制数呢？

1、log以2为底的10⁹

2、9个log以2为底的10

3、9个log以2为底的10 -> 10是2的3.3次方

4、9*3.3大约等于29

5、29位

现在我们已经知道有多少位了，接下来可以通过前缀积的方式求出二进制每个位置上x是几次方。

对于 a ^ b来说，若果把 b 写成2 进制，那么b 就可以写成若干二次幂之和，如13 的二进制 1101，于是3 号位、2号位、0号位就都是1，那么就可以得到13 = 2^3 + 2^2 + 2^1 = 8 + 4 + 1。所以a ¹³ = a⁸ * a⁴ * a¹。

通过同样的推导，我们可以把任意的a^b 表示成 a^{2^k}……、a⁸、a⁴、a²、a¹中若干的乘积。若果二进制的i号位为1.那么想中的a^{(2^i)}就被选中。于是可以得到计算a^b的大致思路：令i 从0到k枚举b的二进制的每一位，如果为1 那就累计a^{(2^i)}。注意a^{(2^k)}……、a⁸、a⁴、a²、a¹前一项总是等于后一项的平方。具体步骤如下。

（1）初始ans = 1,用来存放累积的结果

（2）判断b的二进制末尾是否为1 ，（及判断 b&1 是否为 1）如果是的话，ans乘上a的值

（3）a赋值为a平方，每往左边移动一位就要求一次平方。这样如果二进制位上是1的话就可以直接乘上a了。

（4）b=b/2，表示要求下一个位置的值是不是1了

（5）如果b<0了返回ans的值。

例：a¹³

b	b&1	ans	a
		1	a
1101	1	1*a=a	a²
110	0	a	a⁴
11	1	a*a⁴ = a⁵	a⁸
1	1	a⁵ * a⁸ = a¹³

迭代代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

long long quick_pow(long long a, long long b, long long m){
    long long ans = 1; 
    while(b > 0){
        if(b & 1){
            ans = ans * a % m;
        }
        a = a * a % m;//每一个位置都要乘一次平方,底数平方
        b >>= 1;//判断下一个位置了，幂乘二
    }
    return ans;//返回累积的结果 
}

int main(){
    int a,b,c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << quick_pow(a,b,c);
    return 0;
}