【数学建模】灰色系统理论II-Verhulst建模-GM(1,N)-GM(2,1)建模

灰色系统理论中，GM(1,1)建模很常用，但他是有一定适应范围的。

GM(1,1)适合于指数规律较强的序列，只能描述单调变化过程。对于具有一定随机波动性的序列，我们考虑使用Verhulst预测模型，或者GM(2,1)模型。

Verhulst和GM(2,1)适合于非单调的摆动发展序列或者具有饱和状态的 S 形序列。

Verhulst预测模型

Verhulst模型的定义如下：

对于模型参数，使用最小二乘估计有以下结果：

最终，可以求得灰色Verhulst的解为：

Verhulst模型应用：道路交通事故预测

对于交通事故死亡人数统计数据，我们首先做出大体曲线变化图，以从整体上着手。

可见曲线呈现S型，考虑使用verhulst建模。建模过程如下：

最后我们还要进行一步模型精度检验。灰色模型有一套具体的检验标准，后注。

检验三个指标：相对误差、绝对关联度、均方差比值。利用MATLAB检验结果如下：

可见：

平均相对误差为 3.74% ，则模型精度为二级；同时算得绝对关联度 g 为 0.9845，
均方差比值 C 为 0.2355，则模型精度为一级，可见模型精度较高，可用于事故预测。

附MATLAB程序：

 1 clc,clear
 2  x1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37...
 3  7.39 7.81 8.35 9.39 10.59 10.94 10.44];
 4  n = length(x1);
 5  nian=1990:2003;
 6  plot(nian,x1,'o-');
 7 x0=diff(x1); %作累减生成
 8 x0=[x1(1),x0]
 9  z1=0.5*(x1(2:n)+x1(1:n-1)) %求紧邻均值生成序列
10 B=[-z1',z1'.^2]
11  Y=x0(2:end)'
12  ab_hat=BY %估计参数 a,b 的值
13 x=dsolve('Dx+a*x=b*x^2','x(0)=x0'); %求解常微分方程
14 x=subs(x,{'a','b','x0'},{ab_hat(1),ab_hat(2),x1(1)}); %代入参数值
15 yuce=subs(x,'t',0:14) %计算预测值
16 %下面显示微分方程的解，为了提高计算精度，把该语句放在计算预测值之后
17 x=vpa(x,6)
18  x1_all=[x1,9.92,10.71]; %加上 2004 年的两个观测值
19 yuce(16)=yuce(15); %2004 年有两个观测值，要对应两个相同的预测值
20 epsilon=x1_all-yuce %计算残差
21 delta=abs(epsilon./x1_all) %计算相对误差
22 delta_mean=mean(delta) %计算平均相对误差
23 x1_all_0=x1_all-x1_all(1); %观测值数据列的始点零化像
24 yuce_0=yuce-yuce(1); %预测值数据列的始点零化像
25 s0=abs(sum(x1_all_0(2:end-1))+0.5*x1_all_0(end));
26  s1=abs(sum(yuce_0(2:end-1))+0.5*yuce_0(end));
27  tt=yuce_0-x1_all_0;
28  s1_s0=abs(sum(tt(2:end-1))+0.5*tt(end));
29  absdegree=(1+s0+s1)/(1+s0+s1+s1_s0) %计算灰色绝对关联度
30 c=std(epsilon,1)/std(x1_all,1) %计算标准差比值