RSA

一、历史

1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：

（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则（简称"密钥"），这被称为"对称加密算法"（Symmetric-key algorithm）。

这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。

1976年，两位美国计算机学家 Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为"Diffie-Hellman密钥交换算法"。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。

（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。

1977年，三位数学家 Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做 RSA算法。从那时直到现在，RSA 算法一直是最广为使用的“非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有 RSA 算法。

这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长 RSA 密钥是 768 个二进制位。也就是说，长度超过 768 位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024 位的 RSA 密钥基本安全， 2048 位的密钥极其安全。

下面来解释 RSA 算法的原理。

二、互质关系

如果两个正整数，除了 1 以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15 和 32 没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系，不难得到以下结论：

1. 任意两个质数构成互质关系，比如 13 和 61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如 3 和 10。
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如 97 和 57 。
4. 1 和任意一个自然数是都是互质关系，比如 1 和 99。
5. p 是大于 1 的整数，则 p 和 p-1 构成互质关系，比如 57 和 56。
6. p 是大于 1 的奇数，则 p 和 p-2 构成互质关系，比如 17 和 15。

三、欧拉函数

请思考以下问题：

任意给定正整数 n，请问在小于等于 n 的正整数之中，有多少个与 n 构成互质关系？（比如，在 1 到 8 之中，有多少个数与 8 构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以 φ(n) 表示。在 1 到 8 之中，与 8 形成互质关系的是 1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

1. 第一种情况

   如果 n=1，则 φ(1) = 1 。因为 1 与任何数（包括自身）都构成互质关系。

2. 第二种情况

   如果 n 是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如 5 与 1、2、3、4 都构成互质关系。

3. 第三种情况

   如果 n 是质数的某一个次方，即 n = p^k (p 为质数，k 为大于等于 1 的整数)，则

   

   比如 φ(8) = φ(2³) = 2³ - 2² = 8 -4 = 4。

   这是因为只有当一个数不包含质数 p，才可能与 n 互质。而包含质数 p 的数一共有 p^(k-1) 个，即 1*p、2*p、3*p、...、p^(k-1)*p，把它们去除，剩下的就是与 n 互质的数。

   上面的式子还可以写成下面的形式：

   

   可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

4. 第四种情况

   如果 n 可以分解成两个互质的整数之积，　　

   n = p1 * p2

   则

   φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

   即：积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56) = φ(8*7) = φ(8)*φ(7) = 4*6 = 24。

   这一条的证明要用到“中国剩余定理”，这里就不展开了，只简单说一下思路：

   如果 a 与 p1 互质（a < p1），b 与 p2 互质（b < p2），c 与 p1p2 互质（c < p1p2），则 c 与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于 a 的值有 φ(p1) 种可能，b 的值有 φ(p2) 种可能，则数对 (a,b) 有 φ(p1)φ(p2) 种可能，而 c 的值有 φ(p1p2) 种可能，所以 φ(p1p2) 就等于 φ(p1)φ(p2)。

5. 第五种情况

   因为任意一个大于 1 的正整数，都可以写成一系列质数的积。

   

   根据第 4 条的结论，得到

   

   再根据第 3 条的结论，得到

   

   也就等于

   

   这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323 的欧拉函数，计算过程如下：

   

四、欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。“欧拉定理”指的是：

如果两个正整数 a 和 n 互质，则 n 的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

也就是说，a 的 φ(n) 次方被 n 除的余数为 1。或者说，a 的 φ(n) 次方减去 1，可以被 n 整除。

比如，3 和 7 互质，而 7 的欧拉函数 φ(7) 等于 6，所以 3 的 6 次方（729）减去 1，可以被 7 整除（728/7=104）。

欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7 和 10 互质，根据欧拉定理

已知 φ(10) 等于 4，所以马上得到 7 的 4 倍数次方的个位数肯定是 1。

因此，7 的任意次方的个位数（例如 7 的 222 次方），心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数 a 与质数 p 互质，因为质数 p 的 φ(p) 等于 p-1，则欧拉定理可以写成

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是 RSA 算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。

五、模反元素

还剩下最后一个概念：

如果两个正整数 a 和 n 互质，那么一定可以找到整数 b，使得 ab-1 被 n 整除，或者说 ab 被 n 除的余数是 1。

这时，b 就叫做 a 的"模反元素"。

比如，3 和 11 互质，那么 3 的模反元素就是 4，因为 (3 × 4)-1 可以被 11 整除。显然，模反元素不止一个，4 加减 11 的整数倍都是 3 的模反元素 {..., -18, -7, 4, 15, 26, ...}，即如果 b 是 a 的模反元素，则 b+kn 都是 a 的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到，a 的 φ(n)-1 次方，就是 a 的模反元素。

六、RSA 秘钥生成的步骤

我们通过一个例子，来理解 RSA 算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

1. 随机选择两个不相等的质数 p 和 q。

   爱丽丝选择了 61 和 53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解）

2. 计算 p 和 q 的乘积 n。

   爱丽丝就把 61 和 53 相乘。

   n = 61×53 = 3233

   n 的长度就是密钥长度。3233 写成二进制是 110010100001，一共有 12 位，所以这个密钥就是 12 位。实际应用中，RSA 密钥一般是 1024 位，重要场合则为 2048 位。

3. 计算 n 的欧拉函数 φ(n)。

   根据公式：

   φ(n) = (p-1)(q-1)

   爱丽丝算出φ(3233) 等于 60×52，即 3120。

4. 随机选择一个整数 e，条件是 1< e < φ(n)，且 e 与 φ(n) 互质。

   爱丽丝就在 1 到 3120 之间，随机选择了 17。（实际应用中，常常选择 65537）

5. 计算 e 对于 φ(n) 的模反元素 d。

   所谓“模反元素”就是指有一个整数 d，可以使得 ed 被 φ(n) 除的余数为 1。

   ed ≡ 1 (mod φ(n))

   这个式子等价于

   ed - 1 = kφ(n)

   于是，找到模反元素 d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

   ex + φ(n)y = 1

   已知 e = 17, φ(n) = 3120

   17x + 3120y = 1

   这个方程可以用“扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y) = (2753,-15)，即 d = 2753。

   至此所有计算完成。

6. 将 n 和 e 封装成公钥，n 和 d 封装成私钥。

   在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233, 17)，私钥就是（3233, 2753）。

   实际应用中，公钥和私钥的数据都采用 ASN.1 格式表达（实例）。

七、RSA 算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现 6 个数字：

p
q
n
φ(n)
e
d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n 和 e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是 d，因为 n 和 d 组成了私钥，一旦 d 泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知 n 和 e 的情况下，推导出 d？

（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道 e 和 φ(n)，才能算出 d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果 n 可以被因数分解，d 就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

“对极大整数做因数分解的难度决定了 RSA 算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA 算法愈可靠。

假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么 RSA 的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的 RSA 密钥才可能被暴力破解。到 2008 年为止，世界上还没有任何可靠的攻击 RSA 算法的方式。

只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”

举例来说，你可以对 3233 进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：

33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
　　　　×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232 个十进制位， 768 个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长 RSA 密钥就是 768 位。

八、加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

1. 加密要用公钥 (n, e)

   假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息 m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对 m 进行加密。这里需要注意，m 必须是整数（字符串可以取 ascii 值或 unicode 值），且 m 必须小于 n。

   所谓“加密”，就是算出下式的 c：

   m^e ≡ c (mod n)

   爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的 m 假设是 65，那么可以算出下面的等式：

   65¹⁷ ≡ 2790 (mod 3233)

   于是，c 等于 2790，鲍勃就把 2790 发给了爱丽丝。

2. 解密要用私钥 (n,d)

   爱丽丝拿到鲍勃发来的 2790 以后，就用自己的私钥 (3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

   c^d ≡ m (mod n)

   也就是说，c 的 d 次方除以 n 的余数为 m。现在，c 等于2790，私钥是 (3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

   2790²⁷⁵³ ≡ 65 (mod 3233)

   因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是 65。

至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道 d，就没有办法从 c 求出 m。而前面已经说过，要知道 d 就必须分解 n，这是极难做到的，所以 RSA 算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥 (n,e) 只能加密小于 n 的整数 m，那么如果要加密大于 n 的整数，该怎么办？

有两种解决方法：

1. 把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；
2. 先选择一种“对称性加密算法”（比如 DES），用这种算法的密钥加密信息，再用 RSA 公钥加密 DES 密钥。

九、私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到 m。也就是证明下面这个式子：

c^d ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

m^e ≡ c (mod n)

于是，c 可以写成下面的形式：

c = m^e - kn

将 c 代入要我们要证明的那个解密规则：

(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)

它等同于求证

m^ed ≡ m (mod n)

由于

ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

ed = hφ(n)+1

将 ed 代入：

m^hφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

1. m 与 n 互质。

   根据欧拉定理，此时

   m^φ(n) ≡ 1 (mod n)

   得到

   (m^φ(n))^h × m ≡ m (mod n)

   原式得到证明。

2. m 与 n 不是互质关系。

   此时，由于 n 等于质数 p 和 q 的乘积，所以 m 必然等于 kp 或 kq。

   以 m = kp 为例，考虑到这时 k 与 q 必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

   (kp)^q-1 ≡ 1 (mod q)

   进一步得到

   [(kp)^q-1]^h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

   即

   (kp)^ed ≡ kp (mod q)

   将它改写成下面的等式

   (kp)^ed = tq + kp

   这时 t 必然能被 p 整除，即 t=t'p

   (kp)^ed = t'pq + kp

   因为 m=kp，n=pq，所以

   m^ed ≡ m (mod n)

   原式得到证明。

十、迪菲赫尔曼密钥交换

假设一个传递密钥的场景。算法就是用 3 的次方去模以 17。

三个角色：

1. 服务器随机数 15

   这个 15 只有服务器才知道。

   通过算法得到结果 6 因为 3 的 15 次方 mod 17 = 6 。然后将结果 6 公开发送出去!!

   拿到客户端的 6 ，然后用 6¹⁵ mod 17 得到结果 10（10 就是交换得到的密钥）

2. 客户端随机数 13

   得到结果 3¹³ mod 17 = 12 然后将 12 公布出去。

   拿到服务器的 12 ，然后用 12¹³ mod 17 得到结果10（10 就是交换得到的密钥）

3. 黑客

   它只能拿到 6 和 12。因为没有私密数据 13、15 所以它没法得到结果 10。

为什么 6 的 13 次方会和 12 的 15 次方得到一样的结果呢?

3³ mod 17 = 10
10² mod 17 = 3³² mod 17

结果都是 15。

迪菲赫尔曼密钥交换最核心的地方就在于这个规律！

RSA的诞生

十、内容来源

阮一峰 - RSA算法原理（一）
阮一峰 - RSA算法原理（二）
请叫我Hank - RSA原理探究