矩阵求导术

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矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母[公式]表示（列）向量，大写字母X表示矩阵。

 

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为[公式]，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素[公式]的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。

 

为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：[公式]；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：[公式]，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分[公式]是梯度向量[公式](n×1)与微分向量[公式](n×1)的内积；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：[公式]。其中tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，[公式]，即[公式]是矩阵A,B的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分[公式]是导数[公式](m×n)与微分矩阵[公式](m×n)的内积。

 

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如[公式]，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

  1. 加减法：[公式]；矩阵乘法：[公式]；转置：[公式]；迹：[公式]。
  2. 逆：[公式]。此式可在[公式]两侧求微分来证明。
  3. 行列式：[公式]，其中[公式]表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作[公式]。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
  4. 逐元素乘法：[公式]，[公式]表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
  5. 逐元素函数：[公式]，[公式]是逐元素标量函数运算， [公式]是逐元素求导数。例如[公式]。

 

我们试图利用矩阵导数与微分的联系[公式]，在求出左侧的微分[公式]后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

  1. 标量套上迹：[公式]
  2. 转置：[公式]。
  3. 线性：[公式]。
  4. 矩阵乘法交换：[公式]，其中[公式]与[公式]尺寸相同。两侧都等于[公式]。
  5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换：[公式]，其中[公式]尺寸相同。两侧都等于[公式]。

 

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，对照导数与微分的联系[公式]，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系[公式]，即能得到导数。

 

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得[公式]，而Y是X的函数，如何求[公式]呢？在微积分中有标量求导的链式法则[公式]，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数[公式]截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出[公式]，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到[公式]。

最常见的情形是[公式]，此时 [公式] ，可得到[公式]。注意这里[公式]，由于[公式]是常量，[公式]，以及我们使用矩阵乘法交换的迹技巧交换了[公式]与[公式]。

 

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：[公式]，求[公式]。其中[公式]是[公式]列向量，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]列向量，[公式]是标量。

解：先使用矩阵乘法法则求微分，[公式]，注意这里的[公式]是常量，[公式]。由于df是标量，它的迹等于自身，[公式]，套上迹并做矩阵乘法交换：[公式]，注意这里我们根据[公式]交换了[公式]与[公式]。对照导数与微分的联系[公式]，得到[公式]。

注意：这里不能用[公式]，导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

 

例2：[公式]，求[公式]。其中[公式]是[公式]列向量，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]列向量，exp表示逐元素求指数，[公式]是标量。

解：先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分：[公式]，再套上迹并做交换：[公式][公式]，注意这里我们先根据[公式]交换了[公式]、[公式]与[公式]，再根据[公式]交换了[公式]与[公式]。对照导数与微分的联系[公式]，得到[公式]。

 

例3：[公式]，求[公式]。其中[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]对称矩阵，[公式]是逐元素函数，[公式]是标量。

解：先求[公式]，求微分，使用矩阵乘法、转置法则：[公式]，对照导数与微分的联系，得到[公式]，注意这里M是对称矩阵。为求[公式]，写出[公式]，再将dY用dX表示出来代入，并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换：[公式]，对照导数与微分的联系，得到[公式]。

 

例4【线性回归】：[公式]， 求[公式]的最小二乘估计，即求[公式]的零点。其中[公式]是[公式]列向量，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]列向量，[公式]是标量。

解：这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。先将向量模平方改写成向量与自身的内积：[公式]，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：[公式]，注意这里[公式]和[公式]是向量，两个向量的内积满足[公式]。对照导数与微分的联系[公式]，得到[公式]。[公式]即[公式]，得到[公式]的最小二乘估计为[公式]。

 

例5【方差的最大似然估计】：样本[公式]，求方差[公式]的最大似然估计。写成数学式是：[公式]，求[公式]的零点。其中[公式]是[公式]列向量，[公式]是样本均值，[公式]是[公式]对称正定矩阵，[公式]是标量，log表示自然对数。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是[公式]，第二项是[公式]。再给第二项套上迹做交换：[公式][公式][公式]，其中先交换迹与求和，然后将 [公式]交换到左边，最后再交换迹与求和，并定义[公式]为样本方差矩阵。得到[公式]。对照导数与微分的联系，有[公式]，其零点即[公式]的最大似然估计为[公式]。

 

例6【多元logistic回归】：[公式]，求[公式]。其中[公式]是除一个元素为1外其它元素为0的[公式]列向量，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]列向量，[公式]是标量；log表示自然对数，[公式]，其中[公式]表示逐元素求指数，[公式]代表全1向量。

解1：首先将softmax函数代入并写成[公式]，这里要注意逐元素log满足等式[公式]，以及[公式]满足[公式]。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：[公式]。再套上迹并做交换，注意可化简[公式]，这是根据等式[公式]，故[公式]。对照导数与微分的联系，得到[公式]。

解2：定义[公式]，则[公式]，先同上求出[公式]，再利用复合法则：[公式]，得到[公式]。

 

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例7【二层神经网络】：[公式]，求[公式]和[公式]。其中[公式]是除一个元素为1外其它元素为0的的[公式]列向量，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]列向量，[公式]是标量；log表示自然对数，[公式]同上，[公式]是逐元素sigmoid函数[公式]。

解：定义[公式]，[公式]，[公式]，则[公式]。在前例中已求出[公式]。使用复合法则，[公式]，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到[公式]，从第二项得到[公式]。接下来对第二项继续使用复合法则来求[公式]，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：[公式]，得到[公式]。为求[公式]，再用一次复合法则：[公式]，得到[公式]。

推广：样本[公式]，[公式]，其中[公式]是[公式]列向量，[公式]是[公式]列向量，其余定义同上。

解1：定义[公式]，[公式]，[公式]，则[公式]。先同上可求出[公式]。使用复合法则，[公式]，从第一项得到得到[公式]，从第二项得到[公式]，从第三项得到到[公式]。接下来对第二项继续使用复合法则，得到[公式]。为求[公式]，再用一次复合法则：[公式]，得到[公式]，[公式]。

解2：可以用矩阵来表示N个样本，以简化形式。定义[公式]，[公式]，[公式]，[公式]，注意这里使用全1向量来扩展维度。先同上求出[公式]。使用复合法则，[公式] ，从第一项得到[公式]，从第二项得到[公式]，从第三项得到到[公式]。接下来对第二项继续使用复合法则，得到[公式]。为求[公式]，再用一次复合法则：[公式]，得到[公式]，[公式]。

 

下篇见。

本文承接上篇 ，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母[公式]表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法中Hessian矩阵的分析。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数[公式]，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量[公式](p×1)对向量[公式](m×1)的导数[公式](m×p)，有[公式]；再定义矩阵的（按列优先）向量化[公式](mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数[公式](mn×pq)。导数与微分有联系[公式]。几点说明如下：

  1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数[公式]是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号[公式]表示上篇定义的m×n矩阵，则有[公式]。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
  2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为[公式](mn×mn)，是对称矩阵。对向量[公式]或矩阵[公式]求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵[公式]出发更方便。
  3. [公式]，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新[公式]，满足[公式]。
  4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如[公式](mp×nq)，或是[公式](mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于[公式]中逐个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。资料[5]综述了以上定义，并批判它们是坏的定义，能配合微分运算的才是好的定义。
  5. 在资料中，有分子布局和分母布局两种定义，其中向量对向量的导数的排布有所不同。本文使用的是分母布局，机器学习和优化中的梯度矩阵采用此定义。而控制论等领域中的Jacobian矩阵采用分子布局，向量[公式]对向量[公式]的导数定义是[公式]，对应地导数与微分的联系是[公式]；同样通过向量化定义矩阵F对矩阵X的导数[公式]，有[公式]。两种布局下的导数互为转置，二者求微分的步骤是相同的，仅在对照导数与微分的联系时有一个转置的区别，读者可根据所在领域的习惯选定一种布局。

 

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系[公式]，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

  1. 线性：[公式]。
  2. 矩阵乘法：[公式]，其中[公式]表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是[公式](mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
  3. 转置：[公式]，A是m×n矩阵，其中[公式](mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)，将按列优先的向量化变为按行优先的向量化。例如[公式]。
  4. 逐元素乘法：[公式]，其中[公式](mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

 

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，对照导数与微分的联系[公式]，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系[公式]，即能得到导数。

 

再谈一谈复合：假设已求得[公式]，而Y是X的函数，如何求[公式]呢？从导数与微分的联系入手，[公式]，可以推出链式法则[公式]。

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

  1. [公式]。
  2. [公式]。
  3. [公式]。可以对[公式]求导来证明，一方面，直接求导得到[公式]；另一方面，引入[公式]，有[公式]，用链式法则得到[公式]。
  4. [公式]。
  5. [公式]，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对[公式]做向量化来证明，一方面，[公式]；另一方面，[公式]。

 

接下来演示一些算例。

例1：[公式]，X是m×n矩阵，求[公式]。

解：先求微分：[公式]，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：[公式]，对照导数与微分的联系得到[公式]。

特例：如果X退化为向量，即[公式]，则根据向量的导数与微分的关系[公式]，得到[公式]。

 

例2：[公式]，X是n×n矩阵，求[公式]和[公式]。

解：使用上篇中的技术可求得[公式]。为求[公式]，先求微分：[公式]，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧[公式]，对照导数与微分的联系，得到[公式]，注意它是对称矩阵。在[公式]是对称矩阵时，可简化为[公式]。

 

例3：[公式]，A是l×m矩阵，X是m×n矩阵，B是n×p矩阵，exp为逐元素函数，求[公式]。

解：先求微分：[公式]，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：[公式]，再用逐元素乘法的技巧：[公式]，再用矩阵乘法的技巧：[公式]，对照导数与微分的联系得到[公式]。

 

例4【一元logistic回归】：[公式]，求[公式]和[公式]。其中[公式]是取值0或1的标量，[公式]是[公式]列向量。

解：使用上篇中的技术可求得[公式]，其中[公式] 为sigmoid函数。为求[公式]，先求微分：[公式]，其中[公式]为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到[公式]。

推广：样本[公式]，[公式]，求[公式]和[公式]。有两种方法，解1：先对每个样本求导，然后相加；解2：定义矩阵[公式]，向量[公式]，将[公式]写成矩阵形式[公式]，进而可以使用上篇中的技术求得[公式]。为求[公式]，先求微分，再用逐元素乘法的技巧：[公式]，对照导数与微分的联系，得到[公式]。

 

例5【多元logistic回归】：[公式]，求[公式]和[公式]。其中其中[公式]是除一个元素为1外其它元素为0的[公式]列向量，[公式]是[公式]矩阵，[公式]是[公式]列向量，[公式]是标量。

解：上篇中已求得[公式]。为求[公式]，先求微分：定义[公式]，[公式][公式]，注意这里化简去掉逐元素乘法，第一项中[公式]，第二项中[公式]。定义矩阵[公式]，[公式]，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到[公式]。

 

最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是[公式]，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是[公式]；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是[公式]，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是[公式]。

 

 

参考资料：

  1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
  2. Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
  3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
  4. HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
  5. Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics." Wiley, 2019.
编辑于 2020-06-28
 
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