蓄水池取样（转）

        问题：如何随机从n个对象中选择一个对象，这n个对象是按序排列的，但是在此之前你是不知道n的值的。

        思路：如果我们知道n的值，那么问题就可以简单的用一个大随机数rand()%n得到一个确切的随机位置，那么该位置的对象就是所求的对象，选中的概率是1/n。

        但现在我们并不知道n的值，这个问题便抽象为蓄水池抽样问题，即从一个包含n个对象的列表S中随机选取k个对象，n为一个非常大或者不知道的值。通常情况下，n是一个非常大的值，大到无法一次性把所有列表S中的对象都放到内存中。我们这个问题是蓄水池抽样问题的一个特例，即k=1。

        解法：我们总是选择第一个对象，以1/2的概率选择第二个，以1/3的概率选择第三个，以此类推，以1/m的概率选择第m个对象。当该过程结束时，每一个对象具有相同的选中概率，即1/n，证明如下。

        证明：第m个对象最终被选中的概率P=选择m的概率*其后面所有对象不被选择的概率，即

        对应的该问题的伪代码如下：

  1. i = 0
  2. while more input items
  3.         with probability 1.0 / ++i
  4.                 choice = this input item
  5. print choice

        C++代码实现如下：

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdlib>
  3. #include <ctime>
  4. #include <vector>
  5.  
  6. using namespace std;
  7.  
  8. typedef vector<int> IntVec;
  9. typedef typename IntVec::iterator Iter;
  10. typedef typename IntVec::const_iterator Const_Iter;
  11.  
  12. // generate a random number between i and k,
  13. // both i and k are inclusive.
  14. int randint(int i, int k)
  15. {
  16. 	if (i > k)
  17. 	{
  18. 		int t = i; i = k; k = t; // swap
  19. 	}
  20. 	int ret = i + rand() % (k - i + 1);
  21. 	return ret;
  22. }
  23.  
  24. // take 1 sample to result from input of unknown n items.
  25. bool reservoir_sampling(const IntVec &input, int &result)
  26. {
  27. 	srand(time(NULL));
  28. 	if (input.size() <= 0)
  29. 		return false;
  30.  
  31. 	Const_Iter iter = input.begin();
  32. 	result = *iter++;
  33. 	for (int i = 1; iter != input.end(); ++iter, ++i)
  34. 	{
  35. 		int j = randint(0, i);
  36. 		if (j < 1)
  37. 			result = *iter;	
  38. 	}
  39. 	return true;
  40. }
  41.  
  42. int main()
  43. {
  44. 	const int n = 10;
  45. 	IntVec input(n);
  46. 	int result = 0;
  47.  
  48. 	for (int i = 0; i != n; ++i)
  49. 		input[i] = i;
  50. 	if (reservoir_sampling(input, result))
  51. 		cout << result << endl;
  52. 	return 0;
  53. }

        对应蓄水池抽样问题，可以类似的思路解决。先把读到的前k个对象放入“水库”，对于第k+1个对象开始，以k/(k+1)的概率选择该对象，以k/(k+2)的概率选择第k+2个对象，以此类推，以k/m的概率选择第m个对象（m>k）。如果m被选中，则随机替换水库中的一个对象。最终每个对象被选中的概率均为k/n，证明如下。

        证明：第m个对象被选中的概率=选择m的概率*（其后元素不被选择的概率+其后元素被选择的概率*不替换第m个对象的概率），即


        蓄水池抽样问题的伪代码如下：

  1. array S[n];    //source, 0-based
  2. array R[k];    // result, 0-based
  3. integer i, j;
  4.  
  5. // fill the reservoir array
  6. for each i in 0 to k - 1 do
  7.         R[i] = S[i]
  8. done;
  9.  
  10. // replace elements with gradually decreasing probability
  11. for each i in k to n do
  12.         j = random(0, i);   // important: inclusive range
  13.         if j < k then
  14.                 R[j] = S[i]
  15.         fi
  16. done

        C++代码实现如下，该版本假设n知道，但n非常大：

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdlib>
  3. #include <ctime>
  4.  
  5. using namespace std;
  6.  
  7. // generate a random number between i and k,
  8. // both i and k are inclusive.
  9. int randint(int i, int k)
  10. {
  11. 	if (i > k)
  12. 	{
  13. 		int t = i; i = k; k = t; // swap
  14. 	}
  15. 	int ret = i + rand() % (k - i + 1);
  16. 	return ret;
  17. }
  18.  
  19. // take m samples to result from input of n items.
  20. bool reservoir_sampling(const int *input, int n, int *result, int m)
  21. {
  22. 	srand(time(NULL));
  23. 	if (n < m || input == NULL || result == NULL)
  24. 		return false;
  25. 	for (int i = 0; i != m; ++i)
  26. 		result[i] = input[i];
  27.  
  28. 	for (int i = m; i != n; ++i)
  29. 	{
  30. 		int j = randint(0, i);
  31. 		if (j < m)
  32. 			result[j] = input[i];	
  33. 	}
  34. 	return true;
  35. }
  36.  
  37. int main()
  38. {
  39. 	const int n = 100;
  40. 	const int m = 10;
  41. 	int input[n];
  42. 	int result[m];
  43.  
  44. 	for (int i = 0; i != n; ++i)
  45. 		input[i] = i;
  46. 	if (reservoir_sampling(input, n, result, m))
  47. 		for (int i = 0; i != m; ++i)
  48. 			cout << result[i] << " ";
  49. 	cout << endl;
  50. 	return 0;
  51. }

        下面这个程序假设不知道n的大小

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdlib>
  3. #include <ctime>
  4. #include <vector>
  5.  
  6. using namespace std;
  7.  
  8. typedef vector<int> IntVec;
  9. typedef typename IntVec::iterator Iter;
  10. typedef typename IntVec::const_iterator Const_Iter;
  11.  
  12. // generate a random number between i and k,
  13. // both i and k are inclusive.
  14. int randint(int i, int k)
  15. {
  16. 	if (i > k)
  17. 	{
  18. 		int t = i; i = k; k = t; // swap
  19. 	}
  20. 	int ret = i + rand() % (k - i + 1);
  21. 	return ret;
  22. }
  23.  
  24. // take m samples to result from input of n items.
  25. bool reservoir_sampling(const IntVec &input, IntVec &result, int m)
  26. {
  27. 	srand(time(NULL));
  28. 	if (input.size() < m)
  29. 		return false;
  30.  
  31. 	result.resize(m);
  32. 	Const_Iter iter = input.begin();
  33. 	for (int i = 0; i != m; ++i)
  34. 		result[i] = *iter++;
  35.  
  36. 	for (int i = m; iter != input.end(); ++i, ++iter)
  37. 	{
  38. 		int j = randint(0, i);
  39. 		if (j < m)
  40. 			result[j] = *iter;
  41. 	}
  42. 	return true;
  43. }
  44.  
  45. int main()
  46. {
  47. 	const int n = 100;
  48. 	const int m = 10;
  49. 	IntVec input(n), result(m);
  50.  
  51. 	for (int i = 0; i != n; ++i)
  52. 		input[i] = i;
  53. 	if (reservoir_sampling(input, result, m))
  54. 		for (int i = 0; i != m; ++i)
  55. 			cout << result[i] << " ";
  56. 	cout << endl;
  57. 	return 0;
  58. }

        本文参考：

http://www.cnblogs.com/HappyAngel/archive/2011/02/07/1949762.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Reservoir_sampling

http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher-Yates_shuffle


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原文地址：https://www.cnblogs.com/developing/p/11160928.html