三门问题

近期公司培训讲到了三门问题。题目这样：

这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会—换门的话，赢得汽车的机会率是 2/3。

　　这条问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

这里按古典方法，概率空间方法，和编程方法都走一遍

1.古典方法

3个门中，1个门后面有汽车，其他2个门后面有山羊，共有3处等可能的情况。如果坚持选择门1不换，如下表所示，只有第一种情况下可以获得汽车，而第二种与第三种情况下都得到山羊。因此，得到汽车的概率是1／3。

门1	门2	门3	坚持选择门1的结果
汽车	山羊	山羊	得到汽车
山羊	汽车	山羊	得到山羊
山羊	山羊	汽车	得到山羊

　　如果获胜者选择门1，当主持人打开门2或门3中有山羊的一扇门后，他在剩下的门中选择一个，就会出现下表所示的结果。

门1	门2	门3	获胜者的选择	重新选择的结果
汽车	山羊	山羊	门1换为门2或门3	得到山羊
山羊	汽车	山羊	门1换为门2	得到汽车
山羊	山羊	汽车	门1换为门3	得到汽车

　　可以看到，重新选择另一扇门，得到汽车的概率将会变成2／3。因此，重新选择更有利。

拓展：100个门呢？

如果你拒绝改变，你只有在一开始就选择了正确的门的情况下才能获取汽车，这个概率只有1％。在另外99％的情况下，你最初选择的是一个后面是山羊的门，而另外的98扇已经打开，你这时改变最初的选择就可以成功。所以，在99％的概率下，改变选择是正确的。

2.概率空间

对于概率问题来说，只要能把问题的概率空间构造出来，那么理论上所有相关的概率问题都可以解决掉。三门问题里涉及4个概率空间，然后要用概率转移函数的办法才能把这4个空间构造成一个整体的概率空间。如果把三门问题写清楚，其实概率转移函数也就学的差不多了。
4个概率空间：
第一个 $(Omega_{1},2^{Omega_{1}},mathbb{P}_{1})$ 其中 $Omega_{1}={omega_{1},omega_{2},omega_{3}}$ 其中 $omega_{i}$ 代表车在第 $i$ 个门里。 $mathbb{P}_{1}(omega_{i})=1/3$
第二个 $(Omega_{2},2^{Omega_{2}},mathbb{P}_{2})$ 其中 $Omega_{2}={x_{1},x_{2},x_{3}}$ 其中 $x_{i}$ 代表人选了第 $i$ 个门。 $mathbb{P}_{2}(x_{i})=1/3$
第三个 $(Omega_{3},2^{Omega_{3}})$ 其中 $Omega_{1}={y_{1},y_{2},y_{3}}$ 其中 $y_{i}$ 代表主持人去掉第 $i$ 个门。
第四个 $(Omega_{4},2^{Omega_{4}})$ 其中 $Omega_{4}={z_{1},z_{2},z_{3}}$ 其中 $z_{i}$ 代表主持人去掉某个门后车在第 $i$ 个门。
第一个概率转移函数 $kappa_{1}=((omega_{i},x_{j}),y_{k})$ 根据游戏规则，为若车在 $i$ 人选了 $j$ 主持人去掉 $k$ 的概率。
第二个转移函数 $kappa_{2}=((omega_{i},x_{j},y_{k}),z_{l})=delta_{il}$ 就是如果 $i$ 和 $l$ 相等就取1否则取0。
然后用概率转移函数的办法建立乘积空间，这个乘积空间就是我们要的三门问题的概率空间。
三门问题中不换门而选中的概率是个条件概率,已知选了 $i$ 门，主持人去掉 $j$ 门的情况下车在 $i$ 门的概率用Lebesgue积分计算如下： $mathbb{P}_{1}igotimes mathbb{P}_{2}igotimes kappa_{1}igotimes kappa_{2}(Omega_{1} imes x_{1} imes y_{2} imes z_{1})=int_{Omega_{1}}mathbb{P}_{1}(domega_{1})int_{x_{1}}mathbb{P}_{2}(dx_{2)}int_{y_{2}}kappa_{1}int_{z_{1}}kappa_{2}=1/18$ ，而 $mathbb{P}_{1}igotimes mathbb{P}_{2}igotimes kappa_{1}igotimes kappa_{2}(Omega_{1} imes x_{1} imes y_{2} imes Omega_{4})=int_{Omega_{1}}mathbb{P}_{1}(domega_{1})int_{x_{1}}mathbb{P}_{2}(dx_{2)}int_{y_{2}}kappa_{1}int_{Omega_{4}}kappa_{2}=1/6$ 所以最后的概率是1/3

3.python编程模拟

#!/usr/bin/python
#coding=utf-8
#__author__='dahu'
#三门问题
import random   #伪随机性
from random import SystemRandom     #真随机
N=3
change =True  #false就是不换，true就是换
Total = 10000
cunt=0
for i in xrange(Total):
    car =SystemRandom().randrange(1,N+1)
    first_choose=SystemRandom().randrange(1,N+1)
    if first_choose==car:   #如果一开始就猜对了，则主持人选完后剩下的那个，就是随便留一个
        lefted=(car + 1)%N+1
    else:                   #如果一开始猜错了，剩下的那个只能留汽车了
        lefted=car
    last_choose=lefted if change else first_choose
    cunt += (last_choose == car)
ss=['不换','换']
print '换不换?	%s
正确率:%f
'%(ss[change], 1.0*cunt/Total)

/usr/bin/python2.7 /home/dahu/My_tools/change_or_not.py
换不换?    换
正确率:0.657400


Process finished with exit code 0

我们这里用编程模拟下100个门的情况：修改参数N=100，答案很显然。

/usr/bin/python2.7 /home/dahu/My_tools/change_or_not.py
换不换?    换
正确率:0.990090


Process finished with exit code 0

结论：

还是得换，换的概率是2/3