P1005 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 n×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 ai,j 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。经过 m 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 ×(2^i)，其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）；
游戏结束总得分为 m 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 n+1 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 n 和 m。

第 2∽n+1 行为 n×m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

输出 #1

数据范围：

100% 的数据满足：1≤n,m≤80，0≤ai,j≤1000。

一道区间DP题。

我们发现每行的答案都是分开来的，并没有相互影响，我们就可以一行一行的找最大值，假设当前找到了第(k)行；

(f[i][j])数组表示(i)到(j)这段区间没有选数的最大得分，那么状态转移方程就很好列出来：

[f[i][j] = max(f[i - 1][j] + 2^{m - j + i} * a[k][i - 1], f[i][j + 1] + 2^{m - j + i} * a[k][j + 1]) ]

注意(i > j + 1)，这表示这一行找完了，没有数可选了，如果只找到(i = j)，那相当于少找了一个数。

这道题要用高精，不过用__int128可以水过去。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>

using namespace std;

inline __int128 read() {
    __int128 s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

int n, m;
__int128 f[85][85], a[85][85];
__int128 ans;

__int128 ksm(__int128 x, int y) {
    __int128 res = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) res = res * x;
        x = x * x; y >>= 1;
    }
    return res;
}

void put(__int128 x) {
    if(x > 9) {
        put(x / 10);
    }
    printf("%d", (int) (x % 10));
}

void init() {
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = 1;j <= m; j++) {
            a[i][j] = read();
        }
    }
}   

void work() {
    for(int k = 1;k <= n; k++) {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        __int128 res = 0;
        for(int i = 1;i <= m; i++) {
            for(int j = m;j >= 1; j--) {
                if(i > j + 1) break;
                int num = m - j + i - 1;
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + ksm(2, num) * a[k][i - 1]);
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + ksm(2, num) * a[k][j + 1]);
                res = max(res, f[i][j]);
            }
        }
        ans += res;
    }
    put(ans);
}

int main() {

    init();
    work();

    return 0;
}