[luogu p1434] [SHOI2002]滑雪

题面

题目描述

Michael 喜欢滑雪。这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子： 1 2 3 4 5 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9 一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度会减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为 (24)－(17)－(16)－(1)（从 (24) 开始，在 (1) 结束）。当然 (25)－(24)－(23)－(ldots)－(3)－(2)－(1) 更长。事实上，这是最长的一条。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 (R) 和列数 (C)。下面是 (R) 行，每行有 (C) 个数，代表高度(两个数字之间用 (1) 个空格间隔)。

输出格式

输出区域中最长滑坡的长度。

输入输出样例

输入样例 #1

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

输出样例 #1

说明

对于 (100\%) 的数据，(1leq R,Cleq 100)。

分析

这道题看着真是很眼熟，虽然今天是我在luogu上AC这道题，可我曾经也在vjudge做过这道题，好像是前年吧，那个时候的我还是辣鸡（现在也是），看到这道题完全是蒙圈的，但现在在看这道题真的是比较简单了。

咳咳，正式开始分析。首先我们可以确定的是，这是一道记忆化搜索，其实也可以理解为dp哈。首先对于每一个点，我们可以确定的是，对于滑雪场上的任何一个点，以它开头都会找到一条路径划完，哪怕无路可走答案也是1。我们把这个点(x,y)的结果记为dp[x][y]。这个值怎么计算呢？其实不难，我们会发现，dp[x][y]的值就是四个方向的dp值的最大值加上一，这就是最优子结构。也就是说：

[dp_{i,j} = max(dp_{i-1,j},dp_{i+1,j},dp_{i,j-1},dp_{i,j+1})+1 ]

找到了转移方程，我们就可以放心大胆的用了。
至于枚举的顺序，这就是搜索的实现了，我们可以在主函数中遍历每一个值，求他的(dp_{i,j})，而在(dp_{i,j})中递归套用以上四个公式，直到无法套为止。umm是不是没咋明白，给你看代码你就明白了。

代码

//umm最近这里一直都没有加水印，太懒了orz
#include <iostream>
#include <cstdio>

const int maxn = 205;
const int dx[4] = {0,0,1,-1};
const int dy[4] = {1,-1,0,0};
//方向数组

int r,c,ans;
int a[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
//基本变量

int max(int a,int b) {
    return a > b ? a : b;
}

bool valid(int x,int y) {//判断超过边界函数
    return x > 0 && y > 0 && x <= r && y <= c;
}

int dfs(int x,int y) {//dfs
    if(dp[x][y]) return dp[x][y];//记忆化
    dp[x][y] = 1;//默认这个点的四个方向都走不了
    for(int i = 0; i < 4; i++) {
        int nxtx = x + dx[i];
        int nxty = y + dy[i];
        if(valid(nxtx,nxty) && a[nxtx][nxty] < a[x][y]) {
            dfs(nxtx,nxty);//找到了一种能走的方案，我们进行递归
            dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[nxtx][nxty] + 1);//求得dp
        }
    }
    
    return dp[x][y];
}

int main() {
    scanf("%d %d",&r,&c);
    for(int i = 1; i <= r; i++)
        for(int j = 1; j <= c; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    
    for(int i = 1; i <= r; i++)
        for(int j = 1; j <= c; j++)
            ans = max(ans,dfs(i,j));//遍历滑雪场上每一个点

    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

评测结果

AC 100：R30948538
over.