欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结
标签：数学方法——数论
阅读体验：https://zybuluo.com/Junlier/note/1300214
这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。
欧拉函数
介绍
欧拉函数写做(varphi[x])，表示(0)到(x)中与(x)互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数(p)）：
[left{
egin{aligned}
varphi[p]=p-1 --------------①\
varphi[i*p]=p*varphi[i] (imod p==0)---②\
varphi[i*p]=(p-1)*varphi[i] (imod p
e0)---③
end{aligned}
ight.]
据说还有一个总的公式：(varphi[n]=n*prod(1-dfrac{1}{a_i})) ((a_i)是(n)的质因子)
怎么求
线性筛所有欧拉函数
我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来（根据上面的引理）
不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。笑哭.(jpg)
（去掉和(phi)数组有关的就是线性筛素数了）
背板子吧，其实也容易理解
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}
根号求单个欧拉函数
il lst euler(rg lst x)
{
rg lst ans=x,tp=sqrt(x);
for(lst i=2;i<=tp;++i)
if(x%i==0)
{
ans=ans-ans/i;
while(x%i==0)x/=i;
}
if(x>1)ans=ans-ans/x;
return ans;
}
欧拉定理
有了欧拉函数做坚实的后盾
讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了
一个公式：当(a,n)互质时$$
a^{varphi(n)}equiv1(mod n)
[不知道怎么用对吧，那这样：
如果$a,n$互质，那么有 $ a^{varphi(n)}\%n==1$
也就是 $ a^{varphi(n)}$ 与 $n$ 互质
**最有用的**？ $a^bequiv a^{b\%varphi(n)}(mod n)$
PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作**降幂**，后面讲
## 扩展欧拉定理
嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛
行，如果上面那个式子里面$a,n$不互质了
$$a^bequiv left{
egin{aligned}
a^b (mod n) b<varphi(n)\
a^{b\%varphi(n)+varphi(n)}(mod n) bgeqvarphi(n)
end{aligned}
ight.]
降幂(应用草鸡广的)
根据上面两个定理的公式结合起来
[a^bequiv left{
egin{aligned}
a^{b\%varphi(n)}(mod n) n,a互质\
a^b (mod n) b<varphi(n)\
a^{b\%varphi(n)+varphi(n)}(mod n) bgeqvarphi(n)
end{aligned}
ight.$$~~其实我们完全可以不用用到第一个~~
思考一下
是不是对于一个问题求$a^b (mod n)$
可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个
$yep$降幂成功
给个例题吧：[洛谷P4139 上帝与集合的正确用法](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4139)
代码你要吗？~~不要我也给你，虽然丑~~
```
#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 10000050
#define M 10000000
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
int s=0,m=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
}
int Q,tot;
int phi[N],pri[N];
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}
lst qpow(lst x,lst y,lst mod)
{
lst ret=1;
while(y)
{
if(y&1)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod,y>>=1;
}return ret;
}
lst Solve(lst mod)
{
if(mod==1)return 0;
return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod);
}
int main()
{
Prepare_Phi();
Q=read();
while(Q--)
{
int p=read();
printf("%lld
",Solve(p));
}
return 0;
}
```
那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。
~~毕竟我是个菜鸡嘛~~]