梯度下降伪代码

梯度下降可以优化损失函数的值，使其尽量小，即可找到最好（在数据集上拟合效果最好）的模型参数。

现在假设模型(f)中只有一个参数(w)，则损失函数为(L(f)=L(w))，梯度下降算法如下（若模型有多个参数，按相同方法更新各参数）

初始化参数

随机选取一个(w^0)（(w^0)并不一定是随机选取），令(w=w^0)。
计算梯度

(frac{dL(f)}{dw}|_{w=w^0})

如果小于0，此时(w)增大则(L(f))会减小；如果大于0，此时(w)减小则(L(w))会减小。

如果模型有多个参数，则计算损失函数在各个参数方向上的偏导数。
更新模型参数

(w^1=w^0-lrfrac{dL(f)}{dw}|_{w=w^0})

(w)的变化量取决于梯度和学习率（Learning Rate）的大小：梯度绝对值或学习率越大，则(w)变化量越大。

如果模型有多个参数，则用上一步计算出的偏导数对应更新各参数。
重复第2步和第3步

经过多次参数更新/迭代（iteration），可以使损失函数的值达到局部最小（即局部最优，Local Optimal），但不一定是全局最优。

自适应学习率（Adaptive Learning Rate）

梯度下降过程中，固定学习率并不合理。学习率太大，可能导致loss不减小反而增大；学习率太小，loss会减小得很慢。

基本原则是随着参数迭代更新，学习率应该越来越小，比如(eta^{t}=frac{eta}{sqrt{t+1}})。

更好的方法：每个参数有各自的学习率，比如Adagrad。

Adaptive Gradient Descent，自适应梯度下降。2011年提出，核心是每个参数（parameter）有不同的学习率

每次迭代中，学习率要除以它对应参数的之前梯度的均方根（RMS）。

即(w^{t+1}=w^t-frac{eta}{sqrt{sum_{i=0}^t(g^i)^2}}g^t)，其中(t)是迭代次数，(w)是参数，(g)是梯度，(eta)是初始学习率。

随着参数迭代，(t)越来越大，(sqrt{sum_{i=0}^t(g^i)^2})也越来越大，因此学习率的变化趋势是越来越小。

一般的梯度下降方法(w^{t+1}=w^t-eta^tg^t)中，(eta^t)是常量，梯度越大时，则参数更新的步幅越大，这是由(g^t)项决定的。

在Adagrad中，(eta)是常量，梯度(g^t)越大时会使得参数更新的步幅越大，但(sqrt{sum_{i=0}^t(g^i)^2})越大会使得参数更新的步幅越小，这是一个矛盾吗？

一种直观的解释：增强参数更新步幅变化的惯性

与之前梯度相比如果现在的梯度更大，则现在梯度除以之前梯度会使参数更新的步幅更大；如果现在的梯度更小，则会使步幅更新的步幅更小。

这样就相当于增强了参数更新步幅变化的惯性，即如果参数更新的步幅突然变大或变小，就扩大这个趋势。
同时考虑一次梯度和二次梯度

在Adagrad中，之前梯度的均方根是用来通过一次梯度估计二次梯度（虽然可以直接使用二次梯度，但其很难计算）。
- 只考虑一个参数
  
  当参数只有一个或只考虑一个参数时，梯度越大，离最优点就越远，参数更新的步幅应该越大。
- 考虑多个参数
  
  当参数有多个或者考虑多个参数时，上述内容不一定成立。如果参数1的梯度比参数2的梯度大，但如果损失函数关于参数1的曲线比关于参数2的曲线更陡峭（即二次梯度更大），那参数1离最优点的距离可能比参数2更近。
  
  所以当参数有多个或者考虑多个参数时，我们既要考虑一次梯度又要考虑二次梯度。
  
  结论是一次梯度越大、二次梯度越小，离最优点就越远，参数更新的步幅应该越大。

Stochastic Gradient Descent，随机梯度下降，1847年提出，可以让训练过程更快。

普通梯度下降中需要计算所有样本的Loss，而SGD只计算一个样本的Loss，然后进行梯度下降。

建议直接看李宏毅老师的本节视频，从42分27秒开始看，老师讲得很好。

初始化一组参数后，我们找到邻域中另一个使损失函数值最小的一组参数并更新参数（然后不断重复这一步骤）。
在极小的邻域中，可以利用泰勒级数将损失函数简化，然后求其最小值，损失函数简化后，要使其最小即是让其中两个向量的內积最小，由此可以得出新的一组参数的值（具体过程略），这就是梯度下降。
学习率的作用是限制邻域大小，学习率太大可能使邻域太大，导致损失函数展开成泰勒级数时的误差较大。
当然也可以将损失函数展开成2次（比如牛顿迭代法），但这并不实用，因为要计算二次微分，甚至可能要求出海森矩阵（Hessian Matrix）逆矩阵等等，这些在做深度学习时是不实用的。

梯度下降过程中，每次参数更新不一定都会使损失函数的值更小。

求出的只是局部最小值（Local Minima）甚至是鞍点（Saddle Point），不一定是全局最优解。

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