针对实数函数的分析理论
首先引入集合和映射的概念
-------------------------------------
集合交，并，差。
集合的势：有限集，无限集（可列，不可列）
再考虑实数点集
------------------------------------------------
点集 { x | b < x < a } 被称为开区间
包含点x的开区间被称为点x的邻域
点集A的极限点的集合称为A的导集A'
集合A的闭包 $ar{A}=A cup A'$
集合内所有点都是内点的集合为开集
A=A的闭包，则A为闭集
开集性质：任意并，有限交仍然是开集σ
集合A中任意点都存在邻域在R中，则称A相对于R为稠密集
集合A中任意点，都是集类B中某个集合的内点，则称B为A的覆盖。若B中所有集合为开集合，则B为A的开覆盖
引入集合的环和域的概念
-----------------------------------------------------
注：由于测度一般是定义在σ-环上，或者σ-代数上（例如概率空间），因此先引入集合论中的环(ring)和代数(algebra)概念 （注：这里的代数也叫域）
集合X，以X的某些子集为元素组成的集合称为X上的集类，或者简称类，X称为基本空间。
集合X，R是X上的集类，如果 $E_1, E_2 in R, Rightarrow E_1 cup E_2 in R$, $E_1-E_2 in R$，则R称为X上的环。
若$X in R$，则R称为X上的域
即 环中元素的并、差运算封闭，域中元素的并、补运算封闭
若将环中元素的可列并封闭，则环为σ-环，对应的为σ-代数
包含集类E的最小环称为由集类E所张成的环，记为R(E)。
举例：
1，X是基本空间，R是X上的环，X的所有可以由R覆盖的子集组成一个X上的新的集类H(R)；（注：H(R)是σ-环）
2，集合X，X的所有有限子集组成环R，H(R)就是X的所有有限或者可列子集；
针对实数集
1，实数集上的所有左开右闭区间组成的集类为P（注：P不是环）；
2，P中有限个元素的和组成实数集上的环R0；（注：R0由P张成）
3，H(R0)就是实数集的所有子集
先在环上定义测度
------------------------------------------------
环R上的集函数μ，满足非负性和可列可加性，则μ称为环R上的测度
定义集函数m，R0中某一元素E的函数值为E初等分解后所有线段的长度之和，可以证明m为R0上的测度