求导/泰勒展开

前言:求导是为泰勒展开铺路的。。

求导

(f'(x))为(f(x))的导数，即(f(x))在(x)上的变化率

(egin{aligned} f'(x)=lim_{Delta x ightarrow 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}end{aligned})

(f(x))在(x)上可导的前提是(f(x))在(x)上是连续的

一种不完善的判定条件是(egin{aligned} lim_{Delta x ightarrow 0^+} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x ightarrow 0^+} frac{f(x)-f(x-Delta x)}{Delta x}end{aligned})

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求导法则

(1.(x^n)'=n cdot x^{n-1})((nin R),但是要注意定义域)

(2.(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x)

(3.(e^x)'=e^x)

(4.(a^x)'=ln acdot a^x)

(5.(ln x)'=frac{1}{x})

(6.log_a x=frac{1}{xln a})

(7.(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))

(8.(frac{f(x)}{g(x)})'=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)})

(9.(f(g(x)))'=f'(g(x))cdot g'(x))

如(f(x)=ln x,g(x)=ax-1)

(f'(x)=frac{1}{x},f'(g(x))=frac{1}{ax-1})

(g'(x)=a)

((ln (ax-1))'=frac{a}{ax-1})

$$ $$

泰勒 Taylor 展开

( ext{Taylor})展开是用函数(f(x))在某个点(x_0)上不断求导之后的函数值表示出函数本身

从而将任何一个函数表示成(可能不是有穷的)多项式函数形式

(egin{aligned} f(x)=sum _{i=0}^{infty}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^iend{aligned})

其中(f^{(i)})表示(f)的(i)阶导数

当(x_0=0)时，这个展开被称为麦克劳林 ( ext{Maclaurin})展开，即

(egin{aligned} f(x)=sum _{i=0}^{infty}frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^iend{aligned})

Taylor 展开的证明

为了便于描述，下面直接对于( ext{Maclaurin}) 展开叙述， ( ext{Taylor})展开相当于平移了(x_0)

不妨设(f(x))展开后的多项式函数系数为(a_i)，即设(egin{aligned} f(x)=sum_{i=0}^{infty}a_ix^iend{aligned})

不断对于(f(x))求导得到下式

(egin{aligned} f^{(0)}(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3cdots end{aligned})

(egin{aligned} f^{(1)}(x)= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3cdots end{aligned})

(egin{aligned} f^{(2)}(x)= 2a_2+6a_3x^1+12a_4x^2+20a_5x^3cdots end{aligned})

(cdots)

(egin{aligned} f^{(n)}(x)= n!a_n+prod_{i=2}^{n+1}icdot a_{n+1}x^1+prod_{i=3}^{n+2}icdot a_{n+2}x^2cdots end{aligned})

带入这些函数在0上的取值，得到

(f^{(i)}(0)=i!cdot a_i)

因此(egin{aligned} f(x)=a_ix^i=sum _{i=0}^{infty}frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^iend{aligned})

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常见的Taylor展开

如果你是数学生

(e^xge frac{x^2}{2}+x+1)

(ln xleq x-1)

诸如此类，常用于(e^x,ln x)的放缩处理

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如果你是OIer/ACMer

带入(f(x)=e^x,x_0=0)，得到

(egin{aligned} f(x)=e^x=sum _{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}end{aligned})

类似的

[1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+frac{x^6}{6!} ... =frac{e^x+e^{-x}}{2} ]

[frac{x^1}{1!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}...=frac{e^x-e^{-x}}{2} ]

还有很多都可以自己代入一下，比如

(egin{aligned} frac{1}{1-x}=sum_{i=0}^{infty} x^iend{aligned})

(egin{aligned} -ln (1-x)=ln frac{1}{1-x}=sum_{i=1}^{infty}frac{x^i}{i}end{aligned})

(egin{aligned}sin x =sum_{i=1}(-1)^{i+1}frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}end{aligned})

(egin{aligned}cos x=sum_{i=0}(-1)^{i}frac{x^{2i}}{(2i)!}end{aligned})

应用:牛顿迭代法