和为N的连续正整数序列

题目

输入一个正整数数N，输出所有和为N连续正整数序列。例如输入15，由于1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以输出3个连续序列1-5、4-6和7-8。


一种运用数学规律的解法

假定有k个连续的正整数和为N，其中连续序列的第一个数为x，则有x+(x+1)+(x+2)+...+(x+k-1) = N。从而可以求得x = (N - k*(k-1)/2)  /  k。当x的值小于等于0时，则说明已经没有正整数序列的和为N了，此时循环退出。初始化k=2，表示2个连续的正整数和为N，则可以求出x的值，并判断从x开始是否存在2个连续正整数和为N，若不存在则k++，继续循环。

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  1. bool find_sequence(int N)   
  2. {  
  3.     bool has = false;  
  4.     int k = 2, x, m ;  //k为连续序列的数目，x为起始的值，m用于判断是否有满足条件的值。  
  5.     while (true) {   
  6.         x = (N - k*(k-1)/2) / k;  //求出k个连续正整数和为N的起始值x  
  7.         m = (N - k*(k-1)/2) % k; //m用于判断是否有满足条件的连续正整数值  
  8.         if (x <= 0) break;    //退出条件，如果x<=0，则循环退出。  
  9.         if (!m) {             //m为0，表示找到了连续子序列和为N。  
  10.             has = true;  
  11.             output(x, k);  
  12.         }  
  13.         k++;  
  14.     }  
  15.     return has;  
  16. }  
  17.   
  18. void output(int x, int k)   
  19. {  
  20.     for (int i=0; i<k; i++) {  
  21.         cout << x++ << " ";  
  22.     }  
  23.     cout << endl;  
  24. }  

扩展

问题：是不是所有的正整数都能分解为连续正整数序列呢？

答案：不是。并不是所有的正整数都能分解为连续的正整数和，如32就不能分解为连续正整数和。对于奇数，我们总是能写成2k+1的形式，因此可以分解为[k,k+1]，所以总是能分解成连续正整数序列。对于每一个偶数，均可以分解为质因数之积，即n = pow(2, i)*pow(3, j)*pow(5,k)...，如果除了i之外，j,k...均为0，那么n = pow(2, k)，对于这种数，其所有的因数均为偶数，是不存在连续子序列和为n的，具体证明请看参考资料2。因此除了2的幂之外，所有的正整数n >=3均可以写成一个连续的自然数之和。


另外一种解法

何海涛先生的博客上有另外一种解法，参考如下：

用两个数small和big分别表示序列的最小值和最大值。首先把small初始化为1，big初始化为2。如果从small到big的序列的和大于n的话，我们向右移动small，相当于从序列中去掉较小的数字。如果从small到big的序列的和小于n的话，我们向右移动big，相当于向序列中添加big的下一个数字。一直到small等于(1+n)/2，因为序列至少要有两个数字。

更直白一点的理解就是先判定以数字2结束的连续序列和是否有等于n的，然后是以3结束的连续序列和是否有等于n的。

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  1. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////  
  2. // Find continuous sequence, whose sum is n  
  3. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////  
  4. void FindContinuousSequence(int n)  
  5. {  
  6.       if(n < 3)  
  7.             return;  
  8.   
  9.       int small = 1;   
  10.       int big = 2;  
  11.       int middle = (1 + n) / 2;  
  12.       int sum = small + big;  
  13.   
  14.       while(small < middle)  
  15.       {  
  16.             // we are lucky and find the sequence  
  17.             if(sum == n)  
  18.                   PrintContinuousSequence(small, big);  
  19.   
  20.             // if the current sum is greater than n,   
  21.             // move small forward  
  22.             while(sum > n)  
  23.             {  
  24.                   sum -= small;  
  25.                   small ++;  
  26.   
  27.                   // we are lucky and find the sequence  
  28.                   if(sum == n)  
  29.                         PrintContinuousSequence(small, big);  
  30.             }  
  31.   
  32.             // move big forward  
  33.             big ++;  
  34.             sum += big;  
  35.       }  
  36. }  
  37.   
  38. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////  
  39. // Print continuous sequence between small and big  
  40. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////  
  41. void PrintContinuousSequence(int small, int big)  
  42. {  
  43.       for(int i = small; i <= big; ++ i)  
  44.             printf("%d ", i);  
  45.   
  46.       printf("\n");  
  47. }  

参考资料

1 何海涛博客：和为n连续正数序列[算法]

2 http://www.cnblogs.com/wolenski/archive/2012/08/06/2624732.html


原帖：http://blog.csdn.net/ssjhust123/article/details/7965546

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原文地址：https://www.cnblogs.com/catkins/p/5270700.html