洛谷P1962 斐波那契数列 || P1349 广义斐波那契数列[矩阵乘法]

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入输出格式

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

输出样例#2：

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

1 1

1 0

fn+1 fn

fn fn-1

注意n的范围

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
ll n;
struct mat{
    ll m[3][3];
    mat(){memset(m,0,sizeof(m));}
}im,f;
void init(){
    im.m[1][1]=im.m[2][2]=1;
    f.m[1][1]=f.m[1][2]=f.m[2][1]=1;
}
mat mul(mat &a,mat &b){
    mat c;
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int k=1;k<=2;k++) if(a.m[i][k])
            for(int j=1;j<=2;j++) c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%MOD)%MOD;
    return c;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    init();
    mat ans=im;
    for(;n;n>>=1,f=mul(f,f))
        if(n&1) ans=mul(ans,f);
    printf("%d",ans.m[1][2]);
}

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如an=p*an-1+q*an-2的数列。今给定数列的两系数p和q，以及数列的最前两项a1和a2，另给出两个整数n和m，试求数列的第n项an除以m的余数。

输入输出格式

输入格式：

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1,a2,n,m，其中在p,q,a1,a2整数范围内，n和m在长整数范围内。

输出格式：

输出包含一行一个整数，即an除以m的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

1 1 1 1 10 7

输出样例#1：

说明

数列第10项是55，除以7的余数为6。

构造矩阵

p q

1 0

求它的n-2次幂，再乘

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll p,q,a1,a2,n,MOD;
struct mat{
    int r,c;
    ll m[3][3];
    mat(){r=c=2;memset(m,0,sizeof(m));}
}im,f;
void init(){
    im.m[1][1]=im.m[2][2]=1;
    f.m[1][1]=p;f.m[1][2]=q;f.m[2][1]=1;
}
mat mul(mat &a,mat &b){//printf("p
");
    mat c;
    for(int i=1;i<=a.r;i++)
        for(int k=1;k<=a.c;k++) if(a.m[i][k])
            for(int j=1;j<=b.c;j++) c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%MOD)%MOD;
    return c;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%lld%lld",&p,&q,&a1,&a2,&n,&MOD);
    init();n-=2;
    mat ans=im;
    for(;n;n>>=1,f=mul(f,f))
        if(n&1) ans=mul(ans,f);
    
    //printf("a %d %d %d %d
",ans.m[1][1],ans.m[1][2],ans.m[2][1],ans.m[2][2]);
    mat a;
    a.r=2;a.c=1;
    a.m[1][1]=a2;a.m[2][1]=a1;
    a=mul(ans,a);
    printf("%d",a.m[1][1]%MOD);
}

gcd(fn,fm)=f(gcd(n,m))