最短路径：我的理解--SPFA算法

SPFA算法

　　求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 最短路径快速算法－SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。

　　适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

　　算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

因为SPFA没有向迪杰斯塔拉算法那样，寻找dist[]的最小值，所以重复入队，更新dis[]的最小值，因为这个点本身dis[]的变化，会影响到与之邻接的点，所以要重复入队。

标程一：

const int INF = 999999;

int map[MAXN][MAXN]; //map[i,j]为初始输入的i到j的距离，未知的map[i,j]=INF;

int dis[MAXN];//源点S到i的最短路

char vst[MAXN];//是否在队列中的标记

int Q[MAXN]；//队列

// 参数n表示结点数，s表示源点

int SPFA(int n, int s)

{ int i, pri, end, p, t; // pri是队列头结点，end是队列尾结点

memset(vst, 0, sizeof(vst));//初始化

for(int i=0; i<MAXN; ++i)

Q[i] = 0;//初始化队列为空

for (i=0; i<n; i++)

dis[i] = INF;//初始化源点到I的值为最大值

dis[s] = 0;//源点为0

vst[s] = 1;//标记为已入队

Q[0] = s;//源点入队

pri = 0; end = 1;//队首队尾赋值

while (pri < end)

{

p = Q[pri];//取队首元素

for (i=0; i<n; ++i) //更新dis

{ if (dis[p]+map[p][i] < dis[i])

{ dis[i] = dis[p]+map[p][i];

if (!vst[i]) //未在队列中

{ Q[end++] = i;

vst[i] = 1;

}

vst[p] = 0; // 置出队的点为未标记

pri++;

}

return 1;

}

标程二：

int num[999999]; //记录入队次数

void spfa(int s) // 初始结点s，即为起点，若目标结点t，则输出dict[t]。

{ init_data(s);

int head = 0, tail = 1;

int path[Max]; // 可增加一个path[]数组来记录最后s到t的路径。

queue[0] = s; //que.push(s);

dict[s] = 0;

while (tail > head)//(!que.empty())

{ int u = queue[head];//int u=que.front(); //que.pop();

vis[u] = true;

for (i = 1; i <= n; i ++)

{ if (dict[i] > dict[u] + edge[u][i])

{ dict[i] = dict[u] + edge[u][i];

path[i] = u;

num[i]++

if(num[i]>=n) return 1;//判断是否有负权值……

if (!vis[i]) // 对以前没有访问过的顶点，加入队列中。

{ vis[i] = true;

queue[tail] = i;// que.push(i);

tail ++;

}

vis[u] = false; // 记得把出队列的顶点的vis[]置为false。

head ++;

}

判断负权回路 num[i]>=n的原因，即使所有的点更新都会让i入队的话，才只有n-1次，这时一定是最小值了，入队n次，一定有负权回路