假定用户使用某种产品符合以下的马尔可夫过程：改过程的状态为0和1，其中$s=0$表示用户不再使用该产品，$s=1$表示用户使用该产品。那么该马尔可夫过程的转移矩阵是$M=egin{bmatrix}1 & 0 \1-p & p \end{bmatrix}$。
假定初始状态是$s_1=1$，并且假定用户的使用次数（随机变量）为$X$，那么$Pr(X ge k)=p^{k-1}$。
定义已经使用$k ge 1$次该产品的用户的忠诚度为$S(k)=frac{Pr(X ge k+1)}{Pr(X ge k)}$，表示已经使用了$k$次该产品的用户，会继续使用该产品的可能性。如果完全符合假设，那么该忠诚度$S(k)=p$。然而，事实上，我们可以定义已经使用了该产品$k$次的用户个数为$u_k$，那么实际上的忠诚度为$S(k)=frac{u_{k+1}}{u_k}$。该“忠诚度”实际计算出来的曲线很可能是一个单调递增的凹函数（近似），如下图。
这意味着，随着用户使用该产品次数的增加，用户的忠诚度也在增加。如果你在分析自己产品的用户使用和流失的情况，或者搞营销，说不定可以有所帮助哦:-)