函数依赖集的闭包
F：FD的集合称为函数依赖集。
F闭包：由F中的所有FD可以推导出所有FD的集合，记为F+。
例1，对于关系模式R(ABC)，F＝{A→B,B→C}，求F+。
根据FD的定义，可推出F+={φ→φ,A→φ,A→A,A→B,A→C,A→AB,A→BC,A→ABC,…}，共有43个FD。其中，φ表示空属性集。
属性集闭包
属性集闭包定义 ：
对F，F+中所有X→A的A的集合称为X的闭包，记为X+。可以理解为X+表示所有X可以决定的属性。
属性集闭包的算法：
A+：将A置入A+。对每一FD，若左部属于A+，则将右部置入A+，一直重复至A+不能扩大。
超键、候选键
若X+包含R的所有属性，则X是超键。当X不可约时则为候选键。 如上例：A+＝ABC，则A为超键，因为A不可约则为候选键。
设关系模式R中U=ABC.......等N个属性，U中的属性在FD中有四种范围：
例2，对于关系模式R(ABCD)，F＝{A→B,B→C,D→B}，求其候选键。
先按照属性集闭包的算法，求各个闭包,然后求得候选键。
(1) 求A+。
① A+＝A。
② 由A→B，而A €A+可知，则A+＝AB。
③ 由B→C，而B A+可知，则A+＝ABC。
④ A+封闭，即A+＝ABC。
(2) 求B+、C+、D+。
按步骤(1)可得：B+＝BC，C+＝C，D+＝BCD。
(3) 求其候选键。 显然，R的候选键为AD。
例3，对于关系模式R(ABC)，F={A→BC,BC→A}，求其候选键。
(1) 求属性的闭包。
按例2可得：A+＝ABC，B+＝B，C+＝C。
(2) 求属性集的闭包。
由BC→A，则(BC)+＝ABC，其余属性集闭包为属性闭包的并集。
(3) 求其候选键。 显然，R的候选键为A和BC。
最小函数依赖集
定义：如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。
(1)F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
(2)F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。
(3)F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价。
最小依赖集通用算法：
① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；
③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。
例4、求F={A→B,B→A,B→C,A→C,C→A},最小（极小）函数依赖集合
1、利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖。从题目来看，F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性：
{A→B,B→A,B→C,A→C,C→A}
2、去掉F中多余的函数依赖
（1）设A→B冗余，从F中去掉A→B,则F1={B→A,B→C,A→C,C→A}。计算(A)F1+：设X(0)=A,计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为A或A子集的函数依赖，A→C。故有X(1)=X(0)U C=AC;扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AC或为AC子集的函数依赖，C→A,X(2)=X(1)U C=AC.但AC不包含B，故A->B不能从Ｆ中去掉。
（2）设B→A冗余，从F中去掉B→A，则F2={A→B,B→C,A→C,C→A}。计算(B)F2+:设X(0)=B，计算X(1)：扫描F2中各个函数依赖，找到左部为B或者B子集的函数依赖，B→C.故有X(1)=X(0)U C =BC;扫描F2中各个函数依赖，找到左部为BC或为BC子集的函数依赖，C->A,X(2)=X(1)U A=ABC.X(2)包含所有属性，故B→A可从Ｆ中去掉。
（3）设B→C冗余，从F中去掉B→C，则F3={A→B,A→C,C→A}。计算(B)F3+：扫描F3中各个函数依赖，找不到左部为B或B子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖，故有X(1)=X(0)=B，(B)F1+= B不包含C，故B→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。
（4）设A→C冗余，从F中去掉A→C，则F4={A→B,B→C，C→A}。计算(A)F4+：设X(0)=A,计算X(1)：扫描F4中各个函数依赖，找到左部为A或A子集的函数依赖，A→B。故有X(1)=X(0)U B=AB;扫描F4中各个函数依赖，找到左部为AB或为AB子集的函数依赖，B→C,X(2)=X(1)U C=ABC.X(2)包含所有属性，故A→C可从Ｆ中去掉。
（5）设C→A冗余，从F中去掉C→A，则F4={A→B,B→C}。计算(C)F5+：设X(0)=C,计算X(1)：扫描F5中各个函数依赖，找到左部为C或C子集的函数依赖，找不到左部为C或C子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖，故有X(1)=X(0)=C，(B)F1+= C不包含A，故C→A不是冗余的函数依赖，不能从F中去掉。
（6）至此，所有依赖均以验算完毕，故F最小（极小）函数依赖集合为：{A→B,B→C，C→A}