§6 矢量在轴上的投影（射影）
一 空间两矢量的夹角：
设有两矢量
、
交于点
(若
、
不相交，可将其中一个矢量平移使之相交)，将其中一矢量绕
点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度
(限定
)称为
、
间的夹角，记作
.
(图1.17)
若
、
平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为
；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为
.
类似地，可规定矢量与数轴间的夹角.
将向量平行移动到与数轴相交，然后将矢量绕交点在矢量与数轴所决定的平面内旋转，使矢量的正方向与数轴的正方向重合， 这样得到的旋转角度
称为矢量与数轴的夹角.
(图1.18)
二 空间点在轴上的投影：
设已知点
及轴
，过点
作轴
的垂直平面
，则平面
与轴
的交点叫做点
在轴
上的投影.
(图1.19)
三 矢量在轴上的投影：
定义1 设矢量
的始点
与终点
在轴
的投影分别为
、
， 那么轴
上的有向线段
的值
叫做矢量
在轴
上的投影， 记作
， 轴
称为投影轴.
(图1.20)
这里，
的值
是这样的一个数：
(1)、
即， 数
的绝对值等于向量
的模.
(2)、当
的方向与轴
的正向一致时，
；当
的方向与
轴的正向相反时，
.
四 投影定理：
定理1 矢量
在轴
上的投影等于矢量的模
乘以轴
与矢量
的夹角
的余弦.即
, (1.6-1)
(图1.21)
证 过矢量
的始点
引轴
，且轴
与轴
平行且具有相同的正方向，那未轴
与向量
的夹角等于轴
与向量
的夹角，而且有
故 
由上式可知：矢量
在轴
上的投影是一个数值，而不是矢量.
当非零矢量
与投影轴
成锐角时， 向量
的投影为正.
定理2 对于任何矢量
都有
. (1.6-2)
证 取
，那么
，设
分别是
在轴
上的投影，那么显然有 
，
因为 
所以 
，
即 
.
类似地可证下面的定理：
定理3 对于任何矢量
与任何实数
有
. (1.6-3)
