图

一、图基本介绍

1，为什么要有图

• 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
• 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
• 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

2，图的举例说明

　　图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

               

3，图中常用概念

• 顶点(vertex)
• 边(edge)
• 路径
• 无向图

• • 顶点之间的连接没有方向，比如A-B，即可以是 A-> B 也可以 B->A
  • 路径：比如从 D -> C 的路径有：D->B->C，D->A->B->C

                  

• 有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是 A-> B 不能是 B->A

　　　　

• 带权图：这种边带权值的图也叫网

            

 

二、图的表示方式

　　图的表示方式有两种：二维数组(邻接矩阵)；链表(邻接表)

1，邻接矩阵

　　邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col是表示的1...n个点

　　　　

2，邻接表

• 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实依旧很多边是不存在，会造成空间的一定损失
• 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

 　　　　

三、图的代码实现

　　源码：图的代码实现

1，创建

a)思路

　　　　

b)代码实现

• vertexList ：存储顶点集合 （ArrayList）
• edges ：邻结矩阵（二维数组）
• numOfEdges ：边的数目（每添加一条边，numOfEdges 加一）

class Graph {    

    private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
    private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
    private int numOfEdges; //表示边的数目
    
    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
        
    }
    
    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边
    /**
     * 
     * @param v1 第二个顶点对应的下标
     * @param v2 第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
    
    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    // 得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    // 返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    // 显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
}

public static void main(String[] args) {
    String[] arr = {"A", "B", "C", "D", "E"};
    Graph graph = new Graph(arr.length);

    //添加顶点
    for (String ver : arr) {
        graph.insertVertex(ver);
    }

    /*
     * 添加边
     *  0 1 1 0 0
     *  1 0 1 1 1
     *  1 1 0 0 0
     *  0 1 0 0 0
     *  0 1 0 0 0
     *
     * A-B A-C B-C B-D B-E
     */
    graph.insertEdges(0,1,1);
    graph.insertEdges(0,2,1);
    graph.insertEdges(1,2,1);
    graph.insertEdges(1,3,1);
    graph.insertEdges(1,4,1);
    graph.show();
}

2，图的深度优先遍历

a）思想

1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

b）实现步骤

1)访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。

2) 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。

3) 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。

4) 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。

5) 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。 

c)代码实现

/**
 * 深度优先
 */
public void dfs() {
    isvisited = new boolean[numOfEdges];
    for (int i = 0; i < getVertexSize(); i++) {
        if (!isvisited[i]) {
            dfs(i);
        }
    }
    System.out.println();
}

/**
 * 深度优先遍历
 *  1，定义初始访问结点索引v，打印结点值并标记当前已访问
 *  2，在矩阵中以v为行，找到第一个邻接结点w
 *  3，判定当这个邻接结点w存在
 *      如果这个邻接结点w未被访问，则令v为w循环调用遍历走1-2-3。(递归调用)
 *      如果这个邻接结点w已经被访问，则查找v行w列的下一个邻接结点为w
 *  4，判定这个邻接结点w不存在，则需要从下一个结点v开始从新寻找
 */
public void dfs(int v) {
    //访问初始结点
    System.out.print(getVertexVal(v) + "->");
    isvisited[v] = true;
    int w = getFirstNeighbor(v);
    while (w != -1) {
        if (!isvisited[w]){
            dfs(w);
        }
        w = getNextNeighbor(v, w);
    }
}
/**
 * 获取第一个邻接结点的下标 : 不存在返回-1
 * @param index 固定的行号，查找与行号对应的列>0的下标(第一个)
 */
public int getFirstNeighbor(int index) {
    for (int i = 0; i < getVertexSize(); i++) {
        if (edges[index][i] > 0) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

/**
 * 查找下一个邻接结点的下标
 */
public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
    for (int i = v2 +1; i < getVertexSize(); i++) {
        if (edges[v1][i] >0) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

3，图的广度优先遍历

a)思想

1) 图的广度优先搜索(Broad First Search) ，对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

2) 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点 

b)实现步骤

1) 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。

2) 结点 v 入队列

3) 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

4) 出队列，取得队头结点 u。

5) 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。

6) 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。

6.2 结点 w 入队列

6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。 

c)代码实现

/**
 * 广度优先遍历
 */
public void bfs() {
    isvisited = new boolean[numOfEdges];
    for (int i = 0; i < getVertexSize(); i++) {
        if (!isvisited[i]) {
            bfs(i);
        }
    }
    System.out.println();
}

public void bfs(int v) {
    int u ; // 表示队列的头结点对应下标
    int w ; // 邻接结点 w
    LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();
    System.out.print(getVertexVal(v) + "->");
    isvisited[v] = true;
    list.addLast(v);
    while (!list.isEmpty()) {
        u = list.removeFirst();
        w = getFirstNeighbor(u);
        if (w != -1) {
            if (!isvisited[w]) {
                System.out.print(getVertexVal(w) + "->");
                isvisited[w] = true;
                list.addLast(w);
            }
            w = getNextNeighbor(u, w);
        }
    }
}