算法与数据结构基础

拓扑排序基础

拓扑排序用于解决有向无环图(DAG,Directed Acyclic Graph)按依赖关系排线性序列问题，直白地说解决这样的问题：有一组数据，其中一些数据依赖其他，问能否按依赖关系排序(被依赖的排在前面)，或给出排序结果。

最常用解决拓扑排序问题的方法是Kahn算法，步骤可以概括为：

1. 根据依赖关系，构建邻接矩阵或邻接表、入度数组
2. 取入度为0的数据(即不依赖其他数据的数据)，根据邻接矩阵/邻接表依次减小依赖其的数据的入度
3. 判断减小后是否有新的入度为0的数据，继续进行第2步
4. 直到所有数据入度为0、得到拓扑排序序列，或返回失败(存在环形依赖)

其中2、3两个步骤取入度为0数据、减小依赖其的数据的入度，过程像树的宽度优先搜索，用到类似BFS方法；以上过程用伪代码表示如下：

L ← Empty list that will contain the sorted elements
S ← Set of all nodes with no incoming edge
while S is non-empty do
    remove a node n from S
    add n to tail of L
    for each node m with an edge e from n to m do
        remove edge e from the graph
        if m has no other incoming edges then
            insert m into S
if graph has edges then
    return error   (graph has at least one cycle)
else 
    return L   (a topologically sorted order)

下面看具体例子 207. Course Schedule (有n个课程，课程间有依赖关系，问能否完成所有课程)：

    //207. Course Schedule
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        //构建邻接矩阵、入度数组
        vector<vector<int>> adj(numCourses);
        vector<int> indegree(numCourses,0);
        for(auto x:prerequisites){
            adj[x.second].push_back(x.first);
            indegree[x.first]++;
        }
        //类似BFS
        queue<int> q;
        for(int i=0;i<numCourses;i++)
            if(indegree[i]==0) q.push(i);
        while(!q.empty()){
            int cur=q.front();
            q.pop();
            numCourses--;
            for(auto next:adj[cur])
                if(--indegree[next]==0) q.push(next);//新入度为0的先处理，这与正统BFS有区别
        }
        //判断最后所有数据入度为0
        return numCourses==0;
    }

以上用到邻接矩阵(adjacency matrix)表示依赖关系，时间复杂度为O(V^2)，其中V为数据个数。可视化过程：这里