什么是投影矩阵的逆矩阵呢？从几何意义上来讲，就是把投影到NDC的坐标转化为观察空间下的坐标。
假设y方向的视域角(alpha)，视域的宽高比为(r)，投影平面距离摄像机的距离为(d)，视域的宽为(w)，高为(h)，近剪裁面距离摄像机的距离为(n)，远剪裁面距离摄像机的距离为(f)。首先有：
[r= frac{w}{h}
]
[tanfrac{alpha}{2} = frac{h}{d}
]
假设任一点(P)，投影后的坐标为((x, y, z))，观察空间下的坐标为((x', y', z'))，那么有：
[dfrac{x'}{wx} = dfrac{z'}{d}
]
[dfrac{y'}{hy} = dfrac{z'}{d}
]
这里，分别给(x)和(y)乘以(w)和(h)是因为NDC的坐标是归一化过的，要先还原到([-w, w])和([-h, h])的取值范围。
综合上式，求出(x')和(y')：
[x' = dfrac{z'wx}{d} = z'rtan(dfrac{alpha}{2})x
]
[y' = dfrac{z'hy}{d} = z'tan(dfrac{alpha}{2})y
]
注意到上述求得的(x')和(y')里的分母中均包含(z')，为了用矩阵形式来表达逆投影变换，必须要借助齐次坐标，对((x',y',z',1))各除以(z'),即转换为((dfrac{x'}{z'}, dfrac{y'}{z'}, 1, dfrac{1}{z'}))。 有：
[[x, y, z, 1] cdot egin{bmatrix} rtandfrac{alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & tandfrac{alpha}{2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & A \ 0 & 0 & 1 & B end{bmatrix} = [dfrac{x'}{z'}, dfrac{y'}{z'}, 1, Az+B]
]
由投影变换可知，(z)可以写成：
[z = dfrac{dfrac{f}{f - n}z' + dfrac{nf}{n - f}}{z'}
]
由此可知，解得(dfrac{1}{z'})：
[dfrac{1}{z'} = dfrac{n - f}{nf}z + dfrac{1}{n}
]
也就有：
[egin{cases}
A = dfrac{n - f}{nf} \
B = dfrac{1}{n}
end{cases}
]
最终得到投影矩阵的逆矩阵为：
[egin{bmatrix} rtandfrac{alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & tandfrac{alpha}{2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & dfrac{n - f}{nf} \ 0 & 0 & 1 & dfrac{1}{n} end{bmatrix}
]