题意
栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数{Xn}：
X[n+1]=(aX[n]+c) mod m
其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,...,g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。
(n,m,a,c,X[0] leq 10^{18},g leq10^8)
分析
构造法
见这篇博客
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> inline T read(T&x)
{
T data=0;
int w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
return x=data*w;
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;
ll mod;
ll qmul(ll x,ll y)
{
ll res = 0;
while(y)
{
if(y&1)
(res += x) %= mod;
(x += x) %= mod, y >>= 1;
}
return res;
}
ll qpow(ll x,ll k)
{
ll res = 1;
while(k)
{
if(k&1)
res = qmul(res,x);
x = qmul(x,x), k >>= 1;
}
return res;
}
ll a,c;
ll sum(ll n)
{
if(n == 1)
return c;
ll res = sum(n / 2);
(res += qmul(qpow(a,n / 2),res) ) %= mod;
if(n&1)
(res += qmul(qpow(a,n - 1),c)) %= mod;
return res;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
ll X,n,g;
read(mod);read(a);read(c);read(X);read(n);read(g);
ll ans = qpow(a,n);
ans = qmul(ans,X);
(ans += sum(n)) %= mod;
printf("%lld
",ans % g);
// fclose(stdin);
// fclose(stdout);
return 0;
}
矩阵法
[left(
left[
egin{matrix}
a & c\
0 & 1\
end{matrix}
ight]^n
imes
left[
egin{matrix}
X_0\
1
end{matrix}
ight]
ight)_{1,1}
mod m
]
矩阵快速幂解决。
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> inline T read(T&x)
{
T data=0;
int w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
return x=data*w;
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;
ll mod;
ll qmul(ll x,ll y)
{
ll res = 0;
while(y)
{
if(y&1)
(res += x) %= mod;
(x += x) %= mod,y >>= 1;
}
return res;
}
struct Matrix
{
ll data[2][2];
Matrix()
{
memset(data,0,sizeof data);
}
ll*operator[](const int&x)
{
return data[x];
}
Matrix operator*(const Matrix&rhs)const
{
Matrix res;
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j)
{
for(int k=0;k<2;++k)
{
(res[i][j] += qmul(data[i][k],rhs.data[k][j])) %= mod; // edit 1:data -> rhs
/*if(res[i][j]<0)
res[i][j] += mod;*/
}
}
return res;
}
Matrix&operator*=(const Matrix&rhs)
{
return *this=*this*rhs;
}
void out()
{
cerr<<"check"<<endl;
for(int i=0;i<2;++i)
{
for(int j=0;j<2;++j)
cerr<<data[i][j]<<" ";
cerr<<endl;
}
}
}a,b;
Matrix qpow(Matrix x,ll k)
{
Matrix res;
res[0][0]=res[1][1]=1;
while(k)
{
if(k&1)
res *= x;
x *= x, k >>= 1;
}
return res;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(mod);
read(a[0][0]);read(a[0][1]);a[1][1]=1;
read(b[0][0]);b[1][0]=1;
ll n,g;
read(n);read(g);
a = qpow(a,n);
a *= b;
printf("%lld
",a[0][0] % g);
// fclose(stdin);
// fclose(stdout);
return 0;
}
第二种方法比第一种方法快几毫秒。