下面的例子均来自于单墫先生的《初中数学指津——代数的魅力与技巧》。
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解方程:(sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+x}}}}=x).
若直接多次平方,那会非常麻烦的。我们按照形式,先考虑简单的只有一个根号的方程:(sqrt{6+x}=x). 解得 (x=3), 负值舍弃.
经检验, 发现 (x=3) 就是原方程的一个解.
当 (x>3) 时, (x^2-(x+6)=(x+2)(x-3)>0), 于是 (x>sqrt{6+x}), 从而
[x>sqrt{6+x}>sqrt{6+sqrt{6+x}}>sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+x}}}>sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+x}}}}.]
当 (x<3) 时,我们有
[x< sqrt{6+x}< sqrt{6+sqrt{6+x}}< sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+x}}}< sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+sqrt{6+x}}}}.]
因此原方程只有一个解 (x=3). -
解方程:(sqrt[3]{3x+2}+sqrt[3]{5-3x}=1).
记 (A=sqrt[3]{3x+2}), (B=sqrt[3]{5-3x}), 则
[A+B=1, qquad A3+B3=7.]
两式相除可得 (A2-AB+B2=7), 即 ((A+B)^2-3AB=7). 于是可得
[AB=-2.]
据此可以求出
[egin{cases}A=2, B=-1.end{cases} egin{cases}A=-1, B=-2.end{cases}]