求最大公约数

辗转相除法

　　设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个为被除数的余数的除数即为(a, b)。

　　例如：a=25,b=15，a/b=1......10,b/10=1......5,10/5=2.......0,最后一个为被除数余数的除数就是5,5就是所求最大公约数。

 

数学证明

　　设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

　　第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

　　第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

　　第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

　　第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

　　证毕。

 

代码实现

unsigned gcd(unsigned x, unsigned y)
{
    if (x < y){                    //不加此调整代码也可以，不过加上思路更清晰
        return gcd(y, x);
    }

    return (!y) ? x : gcd(y, x % y);
}

参考资料：辗转相除法 （百度百科）

              最大公约数