一、向量数量积用于计算向量夹角
中学阶段学空间几何时，知道用两个向量a,b之间的数量积来计算向量之间的夹角。
这是因为三角形的余弦定理：
△ABC中角A、B、C对应的边分别为a、b、c
则有cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
基于此余弦定理，我们进一步推导可得到向量数量积与向量之间夹角的关系，我们以平面上的向量a,b为例进行说明：
假设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则边长a满足
，边长b满足
，边长c满足
，a，b又可写为
，将这些代入余弦公式：
最后一步等式用到了
，这是平面向量数量积的定义，参考https://baike.baidu.com/item/平面向量数量积/22173525?fr=aladdin
这就是平面向量数量积用于求解向量夹角的出处，是从三角形余弦定理和向量数量积的定义来的。而百度百科或者中学教材里在给出向量数量积时，直接给出了如下定义：
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。
记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。
显然向量的数量积有这样的定义是为了便于计算，已经隐含了|a||b|cosθ=a·b=x1·x2+y1·y2这样的关系。
二、概念区分
数量积a·b，又称点积，又称内积；
向量积axb，又称叉积，又称外积；
其中，内积和外积是高等数学里的矩阵乘法中的概念，定义如下：
一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积，又叫作点积，结果是一个数；
一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积，外积是一种特殊的克罗内克积，结果是一个矩阵。
建议参考一下这篇文章：https://blog.csdn.net/carechere/article/details/78496752，用四种方式理解了矩阵A和矩阵B的乘法。
三、内积•欧氏空间
这部分为补充上述第二部分的，尤其是内积概念。而且这部分内容放在另外“线性代数知识点”里面更合适，不过放在这里倒也有好处，更能理解内积。
有了内积的实的线性空间称为欧氏空间。
例1：在R2和R3中，初中阶段学的向量的数量积就是一种内积。因为数量积的定义：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2(或|a||b|cosθ，但是不容易证)。而且满足上述4条规则（此处省略证明）。由此，有了内积的平面和空间，称为欧氏平面和欧氏空间。
例2：
这个例子说明同一个实线性空间，可以定义不同内积变成不同的欧氏空间。
例3：
例4：
定理：任何一个实数域上的有限维线性空间都可以定义适当的内积称为欧氏空间。
证明：
性质：
上式中用到一个知识点，就是度量阵。
3.2向量的长度
定义：令
为向量α的长度或模，如果模为1，称α为单位向量或标准向量。
定理：对于欧氏空间V中任意两个向量α,β，一定有
，且
3.3向量的夹角
