线段树

一、线段树基本概念

           线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
    对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

    使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

   性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

二、线段树的存储数据结构

    由上面的图可以看出，存储一颗线段树和二叉树有点类似，需要左孩子和右孩子节点，另外，为了存储每条线段出现的次数，所以一般会加上计数的元素，其具体如下：

[cpp] view plaincopyprint?
  1. struct Node         // 线段树  
  2. {  
  3.     int left;  
  4.     int right;  
  5.     int counter;  
  6. }segTree[4*BORDER];   
struct Node         // 线段树
{
	int left;
	int right;
	int counter;
}segTree[4*BORDER];

其中，;left代表左端点、right代表右端点，counter代表每条线段出现的次数，BORDE代表线段端点坐标不超过100。由上面的性质可以知道，我们需要4倍的空间来存储。

三、线段树支持的操作

一颗线段树至少支持以下四个操作：

  • void construct(int index, int lef, int rig)，构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树
  • void insert(int index, int start, int end)，插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数
  • int query(int index, int x)，查询点x的出现次数，从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
  • void delete_ (int c , int d, int index)，从线段树中删除线段[c,d]

具体操作如下：

1、线段树的创建

[cpp] view plaincopyprint?
  1. /* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/  
  2. void construct(int index, int lef, int rig)  
  3. {  
  4.     segTree[index].left = lef;  
  5.     segTree[index].right = rig;  
  6.     if(lef == rig)   // 叶节点  
  7.     {  
  8.         segTree[index].counter = 0;  
  9.         return;  
  10.     }  
  11.     int mid = (lef+rig) >> 1;  
  12.     construct((index<<1)+1, lef, mid);  
  13.     construct((index<<1)+2, mid+1, rig);  
  14.     segTree[index].counter = 0;  
  15. }  
/* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/
void construct(int index, int lef, int rig)
{
	segTree[index].left = lef;
	segTree[index].right = rig;
	if(lef == rig)   // 叶节点
	{
		segTree[index].counter = 0;
		return;
	}
	int mid = (lef+rig) >> 1;
	construct((index<<1)+1, lef, mid);
	construct((index<<1)+2, mid+1, rig);
	segTree[index].counter = 0;
}

2、线段树的元素插入

[cpp] view plaincopyprint?
  1. /* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */  
  2. void insert(int index, int start, int end)  
  3. {  
  4.     if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end)  
  5.     {  
  6.         ++segTree[index].counter;  
  7.         return;  
  8.     }  
  9.     int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1;  
  10.     if(end <= mid)//左子树   
  11.     {  
  12.         insert((index<<1)+1, start, end);  
  13.     }else if(start > mid)//右子树   
  14.     {  
  15.         insert((index<<1)+2, start, end);  
  16.     }else//分开来了   
  17.     {  
  18.         insert((index<<1)+1, start, mid);  
  19.         insert((index<<1)+2, mid+1, end);  
  20.     }  
  21. }  
/* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */
void insert(int index, int start, int end)
{
	if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end)
	{
		++segTree[index].counter;
		return;
	}
	int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1;
	if(end <= mid)//左子树 
	{
		insert((index<<1)+1, start, end);
	}else if(start > mid)//右子树 
	{
		insert((index<<1)+2, start, end);
	}else//分开来了 
	{
		insert((index<<1)+1, start, mid);
		insert((index<<1)+2, mid+1, end);
	}
}

3、线段树的元素查找

[cpp] view plaincopyprint?
  1. /* 查询点x的出现次数  
  2.  * 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数 
  3.  */  
  4. int query(int index, int x)  
  5. {  
  6.     if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回  
  7.     {  
  8.         return segTree[index].counter;  
  9.     }  
  10.     int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1;  
  11.     if(x <= mid)  
  12.     {  
  13.         return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x);  
  14.     }  
  15.     return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);  
  16. }  
/* 查询点x的出现次数 
 * 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
 */
int query(int index, int x)
{
	if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回
	{
		return segTree[index].counter;
	}
	int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1;
	if(x <= mid)
	{
		return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x);
	}
	return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);
}

4、线段树的元素删除

[cpp] view plaincopyprint?
  1. void  delete_ (int c , int  d, int index)  
  2. {  
  3.        if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right)   
  4.            segTree[index].counter--;  
  5.        else   
  6.        {  
  7.           if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left);  
  8.           if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right);  
  9.        }  
  10. }   
void  delete_ (int c , int  d, int index)
{
       if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right) 
           segTree[index].counter--;
       else 
       {
          if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left);
          if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right);
       }
}

四、线段树的应用

  • 区间最值查询问题
  • 连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 
  • 多维空间的动态查询
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