Algorithm Gossip (15) 筛选求质数（Eratosthenes ）

前言

This Series aritcles are all based on the book 《经典算法大全》; 对于该书的所有案例进行一个探究和拓展，并且用python和C++进行实现; 目的是熟悉常用算法过程中的技巧和逻辑拓展。

提出问题

15.Algorithm Gossip: 筛选求质数（Eratosthenes ）

说明

除了自身之外，无法被其它整数整除的数称之为质数.

筛选原理

逐步选出小质数对应的集合元素， 直到筛选质数到 sqrt(N)。

分析和解释

计算素数的一个方法是埃氏筛法，它的算法理解起来非常简单：

首先，列出从2开始的所有自然数，构造一个序列：

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

取序列的第一个数2，它一定是素数，然后用2把序列的2的倍数筛掉：

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

取新序列的第一个数3，它一定是素数，然后用3把序列的3的倍数筛掉：

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

取新序列的第一个数5，然后用5把序列的5的倍数筛掉：

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

不断筛下去，就可以得到所有的素数。

用Python来实现这个算法，可以先构造一个从3开始的奇数序列：

代码

C语言有待改进的示例

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 1000
int main(void) {
    int i, j;
    int prime[N+1];
    for(i = 2; i <= N;i++)
        prime[i] = 1;
    for(i = 2; i*i <= N;i++) {
        if(prime[i] == 1) {
            for(j = 2*i; j <= N;j++) {
                if(j % i == 0)
                    prime[j] = 0;
                }
            }
        }
    for(i = 2; i < N;i++) {
        if(prime[i] == 1) {
            printf("%4d ", i);
            if(i % 16 == 0)
                printf("
");
            }
        }
    printf("
");
    return 0;
    }

python 的 fitter 实现

def _odd_iter():
    n = 1
    while True:
        n = n + 2
        yield n

# 筛选函数
def _not_divisible(n):
    return lambda x: x % n > 0

#生成器， 不断返回素数
def primes():
    yield 2
    it = _odd_iter() # 初始序列
    while True:
        n = next(it) # 返回序列的第一个数
        yield n
        it = filter(_not_divisible(n), it) # 构造新序列

##主函数
for n in primes():
    if n < 1000:
        print(n)
    else:
        break

PS, 对 fitter , yied 不熟悉的可以百度了解下生成器和迭代器。

yied 主要用于不断生成目标返回到元组的一种append方式 -> 生成器， fitter 为删选机制。

拓展和关联

后记

参考书籍

• 《经典算法大全》
• 维基百科