行列式计算（编程实现）

Write programs that do one thing and do it well

----- Doug McIlroy (UNIX哲学）

如果你学过线代，又恰巧你是个coder，那么你应该写个计算行列式的program。

计算行列式（数学知识）：

每行都按行坐标排序，求出列坐标排列的逆序数

根据逆序数的奇偶行判断该项的正负（奇负，偶正）

逐项求和。

说明：输入行列式的行（列）数 N

并依次输入n*n个数。程序将输出

行列式的计算算式，并得出结果！

代码实现分析：调用头文件<algorithm>里的库函数 next_permutation() 具体实现细节详见代码。

用线段树求逆序数时间复杂度为N*logN。当然以这种时间复杂度的算法还有树状数组求逆序数，归并排序求逆序数。

当然你也可以用直接暴力的方法求出逆序数，代码是十分简单的。时间复杂度和插入排序相同n*n。

然后就是具体的一些实现细节啦

线段树求逆序数，代码有点长。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

void PushUp(int cur, int *sum)
{
    sum[cur] = sum[cur<<1]+sum[cur<<1|1];
}

void Build(int l, int r, int cur, int *sum)
{
    sum[cur] = 0;
    if(l==r) return ;
    int m = (l+r)>>1;
    Build(l, m, cur<<1, sum);
    Build(m+1, r, cur<<1|1, sum);
}

void Update(int p, int l, int r, int cur, int *sum)
{
    if(l==r)
    {
        sum[cur]++;
        return;
    }
    int m = (l+r)>>1;
    if(p<=m) Update(p, l, m, cur<<1, sum);
    else Update(p, m+1, r, cur<<1|1, sum);
    PushUp(cur, sum);
}
int Query(int L, int R, int l, int r, int cur, int *sum)
{
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        return sum[cur];
    }
    int m = (l+r)>>1;
    int ret = 0;
    if(L<=m) ret+=Query(L, R, l, m, cur<<1, sum);
    if(R>m) ret+=Query(L, R, m+1, r, cur<<1|1, sum);
    return ret;
}

int Reverse(int n, int *p)
{
    int sum[n<<2];
    Build(0, n-1, 1, sum);
    int tot = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        tot+=Query(p[i], n-1, 0, n-1, 1, sum);
        Update(p[i], 0, n-1, 1, sum);
    }
    return tot;
}

void solve(int n, int a[15][15])
{
    int flag = 0; 
    long long ans=0;
    int p[15];
    for(int i=0; i<n; i++) 
    p[i] = i+1;
    do
    {
        int ok = Reverse(n, p);
        if(ok&1) 
        {
            flag++;
           printf(" - ");
            long long temp=1;
            for(int j=1, i=0; i<n; j++, i++)
            {
                temp*=(long long)a[j][p[i]];
                if(j!=1)printf(" * ");
                printf("%d", a[j][p[i]]);
                
            }
            ans-=temp;
        }
        else 
        {
           if(flag)printf(" + ");
           flag++;
             long long temp=1;
            for(int j=1, i=0; i<n; j++, i++)
            {
                temp*=(long long)a[j][p[i]];
                if(j!=1)printf(" * ");
                printf("%d", a[j][p[i]]);
            }
            ans+=temp;
        }
    }while(next_permutation(p, p+n));
    printf("
%d

", ans);
}

int main() {
  int n;
  int a[15][15];
  while(scanf("%d", &n)!=EOF)
  {
      for(int i=1; i<=n; i++)
      for(int j=1; j<=n; j++)
      scanf("%d", &a[i][j]);
    solve(n, a);
  }
  return 0;
}

View Code

归并排序求逆序数：

归并排序

void Merge_Sort(int * A, int x, int y, int *T)
{
    if(y-x > 1) 
    {
        int m = x + (y-x)/2;
        int p = x, q = m, i = x;
        Merge_Sort(A, x, m, T);
        Merge_Sort(A, m, y, T);
        while(p < m || q < y)
        {
            if(q >= y ||(p<m && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++];
            else    T[i++] = A[q++];
        } 
        for( i = x; i < y; i++) A[i] = T[i]; 
    }
}

稍加改动，即可求逆序数。把 “else T[i++] = A[q++]； ” 改成 “else { T[i++] = A[q++]; cnt += m-p; }”

即：

void Merge_Sort(int * A, int x, int y, int *T)
{
    if(y-x > 1) 
    {
        int m = x + (y-x)/2;
        int p = x, q = m, i = x;
        Merge_Sort(A, x, m, T);
        Merge_Sort(A, m, y, T);
        while(p < m || q < y)
        {
            if(q >= y ||(p<m && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++];
            else  {    T[i++] = A[q++]; cnt += m-p;}
        } 
        for( i = x; i < y; i++) A[i] = T[i]; 
    }
}

如果想求顺序数的个数，直接用总情况数（n-1+1）*（n-1）/2 - 逆序数即可！

用归并排序法----计算行列式

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;


int Merge_Sort(int * A, int x, int y)
{
    int T[1000];
    int cnt = 0;
    if(y-x > 1) 
    {
        int m = x + (y-x)/2;
        int p = x, q = m, i = x;
        Merge_Sort(A, x, m);
        Merge_Sort(A, m, y);
        while(p < m || q < y)
        {
            if(q >= y ||(p<m && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++];
            else  {    T[i++] = A[q++]; cnt += m-p;}
        } 
        
    }
    return cnt;
}            

void solve(int n, int a[15][15])
{
    int flag = 0; 
    long long ans=0;
    int p[15];
    for(int i=0; i<n; i++) 
    p[i] = i+1;
    do
    {
        int ok = Merge_Sort(p, 0,  n); 
        if(ok&1) 
        {
            flag++;
           printf(" - ");
            long long temp=1;
            for(int j=1, i=0; i<n; j++, i++)
            {
                temp*=(long long)a[j][p[i]];
                if(j!=1)printf(" * ");
                printf("%d", a[j][p[i]]);
                
            }
            ans-=temp;
        }
        else 
        {
           if(flag)printf(" + ");
           flag++;
             long long temp=1;
            for(int j=1, i=0; i<n; j++, i++)
            {
                temp*=(long long)a[j][p[i]];
                if(j!=1)printf(" * ");
                printf("%d", a[j][p[i]]);
            }
            ans+=temp;
        }
    }while(next_permutation(p, p+n));
    printf("
%d

", ans);
}

int main() 
{
  int n;
  int a[15][15];
  while(scanf("%d", &n)!=EOF)
  {
      for(int i=1; i<=n; i++)
      for(int j=1; j<=n; j++)
      scanf("%d", &a[i][j]);
      solve(n, a);
  }
  return 0;
}

View Code

稍加完善 ~ ~ ~

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

//template <typename Type> 
int Merge_Sort(int * A, int x, int y)
{
     int T[1000];
    int cnt = 0;
    if(y-x > 1) 
    {
        int m = x + (y-x)/2;
        int p = x, q = m, i = x;
        Merge_Sort(A, x, m);
        Merge_Sort(A, m, y);
        while(p < m || q < y)
        {
            if(q >= y ||(p<m && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++];
            else  {    T[i++] = A[q++]; cnt += m-p;}
        }     
    }
    return cnt;
}            

template <typename TT>
void solve(int n,  TT a[15][15])
{
    int flag = 0; 
    TT ans=0;
    int p[15];
    for(int i=0; i<n; i++) 
    p[i] = i+1;
    cout << "
    计算算式为:	"; 
    do
    {
        int ok = Merge_Sort(p, 0, n); 
        if(ok&1) 
        {
            flag++;
           printf(" - ");
            TT temp=1;
            for(int j=1, i=0; i<n; j++, i++)
            {
                temp*= a[j][p[i]];
                if(j!=1)printf(" * ");
                cout << a[j][p[i]];
                
            }
            ans-=temp;
        }
        else 
        {
           if(flag)printf(" + ");
           flag++;
             TT temp=1;
            for(int j=1, i=0; i<n; j++, i++)
            {
                temp*=a[j][p[i]];
                if(j!=1)printf(" * ");
                cout<< a[j][p[i]]; 
            }
            ans+=temp;
        }
    }while(next_permutation(p, p+n));
    cout<<endl;
    cout <<"

行列式的结果为: " <<ans << endl << endl; 
}

int main() 
{
  int n;
  double a[15][15];                    // whatever types you want 
  cout<<"请输入所求行列式的阶数: ";
  while(scanf("%d", &n)!=EOF)
  {    
         cout << "
请输入 "<<n<< " * " <<n<< " 的行列式！

"; 
      for(int i=1; i<=n; i++)
      for(int j=1; j<=n; j++)
      cin >> a[i][j]; 
      solve(n, a);
      cout<<"请输入所求行列式的阶数: ";
  }
  return 0;
}

View Code