背包讲解

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

背包之01背包、完全背包、多重背包详解

首先说下动态规划，动态规划这东西就和递归一样，只能找局部关系，若想全部列出来，是很难的，比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2，再把最后一层移动到3，最后再把其余的从2移动到3，这是一个直观的关系，但是想列举出来是很难的，也许当层数n=3时还可以模拟下，再大一些就不可能了，所以，诸如递归，动态规划之类的，不能细想，只能找局部关系。

1.汉诺塔图片

（引至杭电课件:DP最关键的就是状态，在DP时用到的数组时，也就是存储的每个状态的最优值，也就是记忆化搜索）

要了解背包，首先得清楚动态规划：

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构；

2. 递归地定义最优解的值；

3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值；

4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值，则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包

在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态

看了dd大牛的《背包九讲》(点击下载)，迷糊中带着一丝清醒，这里我也总结下01背包，完全背包，多重背包这三者的使用和区别，部分会引用dd大牛的《背包九讲》，如果有错，欢迎指出。

(www.wutianqi.com留言即可)

首先我们把三种情况放在一起来看：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

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先来分析01背包：

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）
首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N
现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序！

这就是关键！

1
2
3

for i=1..N
   for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！
这里给大家一组测试数据：

测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

这个图表画得很好，借此来分析：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。（请在草稿纸上自己画一画）

这里以一道题目来具体看看：

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码在这里：http://www.wutianqi.com/?p=533

分析：

具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础，看懂上面的知识应该就会做了。

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完全背包：

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

`f[i][v]=max{f[i-1][v-kc[i]]+kw[i]|0<=k*c[i]<=v}`

同样可以转换成一维数组来表示：

伪代码如下:

1
2
3

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

顺序！

想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。
现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？
在次我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。
那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？
因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。
这里同样给大家一道题目：

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代码：http://www.wutianqi.com/?p=535

（分析代码也是学习算法的一种途径，有时并不一定要看算法分析，结合题目反而更容易理解。）

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多重背包

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：