subtask 1-3:1_998244353

　　这个观察数据不难得出要求(19^xmod 998244353)，直接搞即可。注意到可能(x)非常大，根据费马小定理(x^{P-1} equiv 1 pmod P)，我们需要读入取模。

subtask 4:1?

　　观察数据和提示告诉我们：仍然求(19^x)，只不过模数不知道。发现输出文件的最大值在(10^6)左右，我们拿第一个输入直接爆搜检验，最后能找出来(P=1145141)。

subtask 5:1?+

　　这个是前一个的加强版，发现模数在(5 imes 10^{18})左右，这个不好暴力了。怎么办呢？我把输入的数排了个序，发现有两组输入的(x)之差为(2)，于是我找到这两组对应的输出，得到了：(19^{264708066}equiv 1996649514996338529 pmod P)和(19^{264708068}equiv 1589589654696467295 pmod P)。也就是说上面的式子乘上(19^2)再取模就能得到下面的数字，于是我们得到了：(1996649514996338529 imes 19^2 equiv 1589589654696467295 pmod P)。然后改写这个式子：(1996649514996338529 imes 361-nP=1589589654696467295)，把常数移到右边，发现在(long long)范围内无法算出，我用(long double)算出了近似值。然后(P)一定是这个数的一个因子。发现(n)在(100)到(200)左右，我就暴力试除，考虑到精度又将(pm 1000)的模数用第一组输入输出判断了一下，最后找到了模数(P=5211600617818708273)。

subtask 6-7:1wa_998244353

　　发现并不是求(19^x mod 998244353)了，换成了用(int)一步一步直接乘再取模，忽视溢出等问题。代码如下。

	x = (int)(x * 19) % 998244353;

　　第(6)个点直接顺序求解即可。第(7)个点恐怕不太行，(x)太大了。我一开始想改写快速幂来求解，发现行不通。正当我一筹莫展的时候，我让第(6)个点多跑到(10^6)组，发现了循环节。就是从(x=55246)开始，答案每过(45699)个数循环一次。这让我想起了( ext{Pollard-Rho})算法的( ho)。当然与那个算法没有关系，这里直接用上述性质即可。

subtask 14-16:2g && 2g+

　　当时我在做完前面(6)个( ext{subtask})后紧接着做的。前面两个点，每次询问给你三个数(l)，(r)，(P)，要求(l)到(r)在模(P)下的原根。对于第(14)个点，(P=998244353)时，(varphi(P)=P-1=998244352=2^{23} imes 7 imes 17)，因为不同的质因子只有(3)个，所以可以直接试除判断是否为原根。

　　对于第(15)个点，(P=13123111)，(varphi(P)=13123110=2×3×5×7×11×13×19×23)，而且判断的数字多达(10^7)个，试除肯定会( ext{T})。我们可以利用其中一个原根把其他的原根遍历出来。在这里(g)取(6)，因为(g^t)遍历所有(varphi(P))个与(P)互质的数，而当且仅当(t)与(varphi(P))互质的时候(g^t)也是原根。于是我们用(varphi(P))的质因子对(t)进行取模判断。遍历完后原根就找全了。

　　对于第(16)个点，最后一组询问未知模数，根据数据给的原根我们反求模数。提示说在(10^9)到(2 imes 10^9)之间且是个质数，我们一个一个找，然后借助已有的原根通过试除法判断这个质数可不可行。(forall g)，如果(g^frac{P-1}{2} otequiv 1 pmod P)，则(P)很可能是我们要找的模数。我的电脑跑了大约(5min)找到了一个数(P=1515343657)，然后检验发现是正确的。用它搜原根与用(P=998244353)的方法一样。于是就解决了。

subtask 8-10:2p

　　要求我们判断(l)到(r)内每个数是不是质数。小范围的可以用线性筛，范围稍微大点的可能可以筛一部分数然后用这部分数来筛(l)到(r)。我直接上了( ext{Miller-Rabin})，这个算法可以在(log n)的时间内测试一个数是不是质数，正确率为(1-(frac{1}{4})^s)，(s)为测试次数。这题貌似选取两三个数就可以了，这样常数小全能过。

subtask 11-13:2u

　　这里让我们筛出(l)到(r)的莫比乌斯函数。

　　同上面一样，我们可以小范围地筛出来(mu)过掉前两个点。当时我没有这么想，用了( ext{Pollard-Rho})来暴力分解然后筛出前(10^6)个莫比乌斯函数，发现第二个点都过不掉。怎么办呢？最大的数为(10^{18})，我想到如果筛出(10^6)以内的质数然后用这些质数来筛这些数，剩下的数的素因子一定(geq 10^6)，所以剩下的数最多只能有两个素因子，也就是以下三种情况：

　　一、剩下的数是质数，用( ext{Miller-Rabin})判一下，这个时候会使(mu)乘上(-1)；

　　二、剩下的数是两个不同的质数的乘积；负负得正，这个时候不会对(mu)产生贡献；

　　三、剩下的数是一个质数的平方。这个时候(mu)为(0)。

　　用小于(10^6)的因子去筛这些数，并且维护(mu)，然后通过上面的三种情况分类讨论即可求解。

　　但要注意要去掉含有平方因子的数。最后这道题就解完了。

\ AC代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i, a, b) for (register int i = a, end = b; i <= end; i++)
#define repd(i, a, b) for (register int i = a, end = b; i >= end; i--)
#define chkmax(a, b) a = max(a, b)
#define chkmin(a, b) a = min(a, b)
#define INF (1<<30)
#define pb push_back
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define fst first
#define snd second
#define pii pair<int, int>

char s[15];

namespace _998244353 {
	int N;
	ull P;
	ull v;

	inline void inc(ull &a, ull b, ull p) {
		a += b;
		if (a >= p) a -= p;
	}

	ull Mult(ull a, ull b, ull p) {
		ull res = 0;
		for (ull k = a; b; inc(k, k, p), b >>= 1)
			if (b & 1) inc(res, k, p);
		return res;
	}

	ull qpow(ull a, ull b, ull p) {
		ull res = 1;
		for (register ull k = a; b; k = Mult(k, k, p), b >>= 1)
		if (b & 1) res = Mult(res, k, p);
		return res;
	}

	inline ull read() {
		ull w = 0; char c;
		while (!isdigit(c = getchar())) ;
		while (isdigit(c)) w = ((w << 3) + (w << 1) + (c ^ 48)) % (P-1), c = getchar();
		return w;
	}
	void main(ull orz) {
		P = orz;
		scanf("%d", &N);
		rep(i, 1, N) {
			v = read();
			printf("%llu
", qpow(19, v, P));
		}
	}
}

namespace WA {
	int N;
	int ans[55246+45699+5];
	void main() {
		scanf("%d", &N);
		ans[0] = 1;
		rep(i, 1, 55246+45699) {
			ans[i] = (int)(ans[i-1]*19)%998244353;
		}
		rep(i, 1, N) {
			ll val;
			scanf("%lld", &val);
			if (val <= 55246+45699) printf("%d
", ans[val]);
			else printf("%d
", ans[(val-55246)%45699+55246]);
		}
	}
}

namespace GG {
	int qpow(int a, int b, int p) {
		int res = 1;
		for (register int k = a; b; k = (ll)k*k%p, b >>= 1)
			if (b & 1) res = (ll)res * k % p;
		return res;
	}
	void run1(int l, int r, int p) {
		if (p == 998244353) {
			rep(i, l, r) if (qpow(i, 499122176, 998244353) != 1 && qpow(i, 142606336, 998244353) != 1 && qpow(i, 58720256, 998244353) != 1) printf("g"); else printf(".");
		} else {
			rep(i, l, r) 
				if (qpow(i, 757671828, 1515343657) != 1 && qpow(i, 505114552, 1515343657) != 1 &&
					qpow(i, 378552, 1515343657) != 1 && qpow(i, 96072, 1515343657) != 1) printf("g"); else printf(".");
		}
		puts("");
	}
	int st[13123120];
	void run2(int p) {
		memset(st, 0, sizeof(st));
		int g = 6, cnt = 0;
		do {
			cnt++;
			if (cnt % 2 && cnt % 3 && cnt % 5 && cnt % 7 && cnt % 11 && cnt % 13 && cnt % 19 && cnt % 23) st[g] = 1;
			g = g*6%p;
		} while (g != 6);
		rep(i, 1, 13123110) if (st[i]) printf("g"); else printf(".");
		puts("");
	}
}

namespace PP {
	inline ll Mult(ll a, ll b, ll p) {
		ll c = (ll)a*b - (ll)((ull)((long double)a*b/p)*p);
		return c < 0 ? c+p : ((ull)c >= (ull)p ? c-p : c);
	}

	ll qpow(ll a, ll b, ll p) {
		ll res = 1;
		for (register ll k = a; b; k = Mult(k, k, p), b >>= 1)
			if (b & 1) res = Mult(res, k, p);
		return res;
	}
	int test[10] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
	bool MR(ll P, int cnt = 10) {
		ll s = P-1; int t = 0;
		while (!(s & 1)) s >>= 1, t++;
		rep(i, 0, cnt-1) {
			if (P == test[i]) return true;
			if (test[i] > P) return false;
			ll a = qpow(test[i], s, P), nxt;
			rep(x, 1, t) {
				nxt = Mult(a, a, P);
				if (nxt == 1 && a != 1 && a != P-1) return false;
				a = nxt;
				if (a == 1) break;
			}
			if (a != 1) return false;
		}
		return true;
	}
	int N;
	void main() {
		scanf("%d", &N);
		while (N--) {
			ll l, r;
			scanf("%lld%lld", &l, &r);
			while (l <= r) {
				if (MR(l)) printf("p"); else printf(".");
				l++;
			}
			puts("");
		}
	}
}

namespace UU {
	int N;
	int check[1000005], p[100000];
	void init() {
		memset(check, 0, sizeof(check));
		p[0] = 0;
		rep(i, 2, 1000000) {
			if (!check[i]) p[++p[0]] = i;
			for (register int j = 1; j <= p[0] && i*p[j] <= 1000000; j++) {
				check[i*p[j]] = 1;
				if (!(i % p[j])) break;
			}
		}
	}
	ll frac[1000001], mu[1000001];
	bool issqr(ll x) {
		ll v = sqrt(x);
		if (v*v == x || (v-1)*(v-1)==x || (v+1)*(v+1)==x) return true;
		return false;
	}
#define cc(x) ((x) == 0 ? '0' : ((x) < 0 ? '-' : '+'))
	void main() {
		init();
		scanf("%d", &N);
		while (N--) {
			ll l, r;
			scanf("%lld%lld", &l, &r);
			rep(i, 0, r-l) mu[i] = frac[i] = 1;
			rep(i, 1, p[0]) {
				ll x = 1ll*p[i]*p[i], st = l-(l-1)%x-1+x;
				while (st <= r) {
					mu[st-l] = 0; frac[st-l] = st; st += x;
				}
				x = p[i], st = l-(l-1)%x-1+x;
				while (st <= r) {
					mu[st-l] = -mu[st-l];
					if (frac[st-l] != st) frac[st-l] *= x;
					st += x;
				}
			}
			for (register ll i = l; i <= r; i++) {
				ll val = i/frac[i-l];
				if (val == 1) printf("%c", cc(mu[i-l]));
				else if (PP::MR(val, 2)) printf("%c", cc(-mu[i-l]));
				else if (issqr(val)) printf("0");
				else printf("%c", cc(mu[i-l]));
			}
			puts("");
		}
	}
}

int main() {
	srand(time(0));
	scanf("%s", s);
	if (s[2] == '9') _998244353::main(998244353);
	if (s[1] == '?') {
		if (s[2] == '+') {
			_998244353::main(5211600617818708273ll);
		} else {
			_998244353::main(1145141);
		}
	}
	if (s[1] == 'w') {
		WA::main();
	}
	if (s[1] == 'g') {
		int l, r, p, N;
		if (s[2] == '?') {
			scanf("%d", &N);
			while (N--) {
				scanf("%d%d", &l, &r);
				if (N) scanf("%d", &p); else p = 1515343657;
				GG::run1(l, r, p);
			}
		} else {
			scanf("%d", &N);
			while (N--) {
				scanf("%d%d%d", &l, &r, &p);
				if (p == 998244353) GG::run1(l, r, p);
				else GG::run2(p);
			}
		}
	}
	if (s[1] == 'p') {
		PP::main();
	}
	if (s[1] == 'u') {
		UU::main();
	}

	return 0;
}